Lista VII - Topologia

Lista VII - Topologia

Lista de exercícios 7

Exercício 1. Sejam n ∈ N\{0} e K ⊆ Rn. Prove que K é compacto se, e somente se, K é fechado e limitado. [Obs.: Dizemos que A ⊆ Rn é limitado se, e somente se, existe M ∈ R tal que A ⊆ [−M,M]n.]

Exercício 2. O objetivo deste exercício é demonstrar o seguinte resultado:

A ⊆ R é aberto (na topologia usual de R) se, e somente se, A é a união de uma família enumerável de intervalos abertos.

Para tanto, prove as seguintes afirmações:

(a) Todo subconjunto conexo de R é um intervalo.

(b) Para todo x ∈ A, tem-se que Ix = ⋃ {I ⊆ A : I é um intervalo aberto de R e x ∈ I} é um intervalo aberto de R.

(c) Dados x,y ∈ A quaisquer, tem-se que Ix ∩ Iy 6= ∅ se, e somente se, Ix = Iy.

(d) A família {Ix : x ∈ A} é enumerável. [Sugestão: Lembre-se de que R é separável.]

Conclua demonstrando o resultado enunciado no início do exercício.

Exercício 3. Demonstre o teorema de Baire para espaços localmente compactos.

Exercício 4. Sejam (X,d) um espaço métrico completo e τ a topologia sobre X associada a d. Prove que (X,τ) é um espaço de Baire.

Exercício 5. Sejam d1 e d2 métricas sobre um conjunto X, e sejam τ1 e τ2, respectivamente, as topologias sobre X associadas a d1 e d2. Considere as afirmações a seguir:

(i) para quaisquer x ∈ X e r > 0, existe r′ > 0 tal que Bd1 (x,r′) ⊆

Exercício 6. Seja n um inteiro positivo. Defina, sobre Rn×Rn, as funções d1, d2 e d∞ por

d1(x,y) = |x1 − y1| ++ |xn − yn|
|x1 − y1|2 ++ |xn − yn|2

(b) Prove que, para x,y ∈ Rn arbitrários, tem-se

(c) Conclua que estas três métricas são equivalentes. [Sugestão: use o exercício 5.]

(M1, d1),, (Mn, dn) quaisquer.

Exercício 7. Generalize o exercício 6 para o produto de espaços métricos

Exercício 8. Sejam (X,d) um espaço métrico, (xn)n∈N uma sequência de Cauchy em (X,d) e x ∈ X. Prove que, se alguma subsequência de (xn)n∈N converge para x, então xn

Exercício 9. Sejam (X,d) um espaço métrico e τ a topologia sobre X associada a d. Prove que, se (X,τ) é compacto, então (X,τ) verifica o segundo axioma de enumerabilidade (ou, equivalentemente, é separável). [Sugestão:

Considere, para cada n ∈ N, o recobrimento aberto Cn = {Bd(x, 1 2n

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