Apostla Completa de Matematica , Notas de estudo de Desenho Industrial

Baixe Apostla Completa de Matematica e outras Notas de estudo em PDF para Desenho Industrial, somente na Docsity! MATEMÁTICA PARA CONCURSOS Matemática para Concursos Sumário Números Naturais Conjuntos numéricos: racionais e rea Divisibilidade -----======= =... nono n nana nn Números Primos --=--===—=== =... .... nono anna Máximo Divisor Comum (mdc mmc) ---=---—=—-——-......— Números Racionais -----=----= =... .... nana nona Números Fracionários -------====........ nino Números Decimais -----========. =... .. nono nn Potenciação -— Radiciação -- Razões e Proporções Média ----——————————..——. Produtos Notáveis ------==--........ nino nona Divisão Proporcional -----=——————- =... nn Regra de Três: Simples e Composta --------——————........— Porcentagens --======== =... .nnncnaanananaoaaaanaonaaaananaanam Juros Simples ------====...... nino nona nona anna Juros Compostos ----===—=——......... nuno Sistemas de Medidas ---- Sistema Métrico Decimal Equações do 1.º grau - Equações do 2.º grau - Sistemas ---=-====== =... .... nina Equações ------= =... ... nino nona ano caannamam Progressão aritmética --------=====—== ==... nn Progressão geométrica ------=——=........... nm Noções de trigonometria --------——————=......... nn Teorema de Pitágoras ----=—=—————........... uno Funções exponenciais - Logaritmos Polinômios -- Geometria ---============= =... nn nn nono nono nm Noções de probabilidade ------—==-........ nana Noções de estatísticas ---------=......... nona nam 03 05 10 12 13 15 16 21 23 24 25 27 28 29 31 32 34 35 45 47 51 56 57 62 64 65 os 69 71 73 76 Polícia Rodoviária Federal W Matemática para Concursos Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros Primeiro eliminamos os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados, logo depois eliminamos os colchetes, como também tinha um sinal de a)-[-3+2-(4-5-6)] =-[-3+2-4+5+6] 3-2+4-5-6 = e 13 menos todos os números saíram com os sinais trocados, somamos os positivo e o negativos Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depois DESTE EIS DD multiplicamos o resultado por 3, logo após =(-5+[-8+15-3) eliminamos os colchetes, como antes deste tinha =[5-8+15-3) um sinal de mais, todo os números saíram sem =-5-8415-3 trocar sinal, eliminamos também as chaves, =-16+15 observe que também não teve troca de sinais pelo =1 mesmo motivo anterior, juntamos positivo e negativos. Conjunto Conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = (2,4,6,8,10,12,... 5. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P=(x|xéparepositvo) =(2,4,6,...). Relação de pertinência Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x € A, onde o símbolo Esignifica "pertence a”, Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por q . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: dD=(x;xexpeU=(x;x=x>. Subconjunto Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A C B. Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. (AC A) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (2C A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Polícia Rodoviária Federal 5 Matemática para Concursos Assim, se A = fc, d) , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = (q, Lc), (d), Lcd) e) um subconjunto de A é também denominado parte de A. Conjuntos numéricos fundamentais Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: Conjunto dos números naturais N =40,1,2,3,4,5,6,... > Conjunto dos números inteiros Z =... "43,2,1,0,1,2,3,...> Obs: é evidente que NC Z. Conjunto dos números racionais Q=(x;x=p/qcompEZ,qEZegãos. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero! São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3,7 = 7/1, etc. Notas: a)éevidentequeNCZCc q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9 . Conjunto dos números irracionais 1 = (x; x é uma dízima não periódica). Exemplos de números irracionais: TT = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) V 3 = 1,732050807... (raiz não exata). Conjunto dos números reais R=4x;x éracional ou x é irracional). Notas: a)éóbvioqueNTZC QC R b)ICR JIUQ=R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese! Intervalos numéricos Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q, chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir pe q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos. Polícia Rodoviária Federal 6 Matemática para Concursos TIPOS REPRESENTAÇÃO | OBSERVAÇÃO INTERVALO FECHADO inclui os limites p e [pal=(xERpSxS a pea INTERVALO ABERTO exclui os limites p e q (pg) =(xERp<x<ar INTERVALO FECHADO A ESQUERDA inclui p e exclui q [p)=(xER p<x<ar INTERVALO FECHADO À DIREIT exclui p e inclui q (pal =(XERjp<x<a INTERVALO SEMI-FECHAD valores maiores ou iguais a p. [pio )=(xERix2p> INTERVALO SEMI-FECHADO valores menores ou iguais a q. (o ;q=(xERix<Sar INTERVALO SEMI-ABERTO valores menores do que q. (o ;q)=(xERix<ar INTERVALO SEMI-ABERTO (p;po)J=(x>p> valores maiores do que p. Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -c0; +00). Operações com conjuntos União (U ) Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A UB=(x;x E Aoux E B). Exemplo: (0,1,3) U 4 3,4,5 ) = £0,1,3,4,5). Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas: aJAUA=A bDAUQq=A JAUB=BUA (a união de conjuntos é uma operação comutativa) dAUU =U,ondeU éo conjunto universo. Interseção () Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção AN B = (x;x E Aex E B). Exemplo: 40,2,4,5) N 4 4,6,7) = (4). Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas: aJANA=A DANH=a JANB=BNA(a interseção é uma operação comutativa) d)JANU =A onde Ué conjunto universo. São importantes também as seguintes propriedades : PLAN(BUC)=(ANB)U (AN) (propriedade distributiva) PLRAU(BNC)=(AUB)NÇAUC) (propriedade distributiva) P3B.AN(AU B)=A (lei da absorção) P4. AU (AMB) = (lei da absorção) Polícia Rodoviária Federal 7 Matemática para Concursos 5) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a)5 b)6 co)7 d)9 ejio 6) - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ? a)1 b)2 co)3 d)4 eo 7) PUC-SP - Se A = eB=(),então: ajAEB bDAUB=O )JA=B DANB=B eJBCA 8) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A/1B é30,0 número de elementos de A (1 C é 20 e o número de elementos de A MB MN Cé 15. Então o número de elementos de A N (B U C) é igual a: a)35 b)15 c)5O d)45 e)20 9) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A=(a,b, la), (b), tab) ) são: a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)iou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5 RESULTADO 1)c2)a3)a 4)c5)e 6)a 7)a 8)a 9)a Critérios de di ilidade São critérios que nos permite verificar se um número é divisível por outro sem precisarmos efetuar grandes divisões. Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4,ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Polícia Rodoviária Federal 10 Matemática para Concursos Exemplos : 8490 é divisível por 2, pois termina em 0. 895 não é divisível por 2, pois não é um número par. Di dade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 8+7+0=15, como 15 é divisível por 3, então 870 é divisível por 3. Di lidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 9500 é divisível por 4, pois termina em 00. 6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4. 836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4. 9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não é divisível por 4. Di lidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em O ou 5. Exemplos: 425 é divisível por 5, pois termina em 5. 78960 é divisível por 5, pois termina em 0. 976 não é divisível por 5, pois não termina em O nem em 5. Di tempo. Exemplos: 942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 984 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é divisível por 3. 357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2. lidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo Di lidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 2000 é divisível por 8, pois termina em 000. 98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8. 98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8. Di dade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 6192 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 6+1+9+2=18, e como 18 é divisível por 9, então 6192 é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 8970 é divisível por 10, pois termina em 0. 5987 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Di ilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. Exemplos: 87549 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp=22-11=11 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 Polícia Rodoviária Federal q Matemática para Concursos Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp=10-21 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: 1200 é divisível por 12, porque é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 870 não é divisível por 12 é divisível por 3, mas não é divisível por 4. 8936 não é divisível por 12 é divisível por 4, mas não é divisível por 3. Di lidade por 15 Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. Exemplos: 9105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 9831 não é divisível por 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 5. 680 não é divisível por 15 é divisível por 5, mas não é divisível por 3. Números Primos Devemos antes de tudo lembrar o que são números primos. Definimos como números primos aqueles que são divisíveis apenas por 1 e ele mesmo. Exemplos: 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é primo. 23 tem apenas os divisores 1 e 23, portanto 23 é primo. 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é primo. Atenção: 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor ele mesmo. 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 36 tem mais de dois divisores então 36 é um número composto. Como saber se um número é primo Devemos dividir o número dado pelos números primos menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhum das divisões for exata, o número é primo. Decomposição em fatores primos Todo número natural, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação em que todos os fatores são números primos. É o que nós chamamos de forma fatorada de um número Decomposição do número 36: 36 =9x4 36=3x3x2x2 36=3x 3x2x2=22x3º No produto 2 x 2x 3 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 36 é2? x 3? Método Prático Escrever a Forma Fatorada de um Número Natural Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: º Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º A seguir, dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo. 3º Proceder dessa forma, daí por diante, até obter o quociente 1. 4º Aforma fatorada do número 120=22x3x5 Polícia Rodoviária Federal 12 Matemática para Concursos Devemos saber que existe outras formas de calcular o mmc, mas vamos nos ater apenas a decomposição simultânea. OBS: Esta regra difere da usada para o mdc, fique atento as diferenças. Exemplos: mmc (18, 25, 30) = 720 1º; Escrevemos os números dados, separados por vírgulas, e 30, 36, 48) 2 colocamos um traço vertical a ie a za 5 de a 5 direita dos números dados. a 2º: Abaixo de cada número 15, 9, 6 2 - ia : 15, 9, 3/3 16x9x5=720 divisível pelo fator primo 5 a 1 la colocamos o resultado da divisão. 5. 1 1 |5 forma fatorada, observe que o 2 O números não divisíveis pelo 1 1 1 apareceu 4 vezes, O 3 apareceu fator primo são repetidos. ros 2 vezes e O 5 apareceu 1 vez 3º; Continuamos a divisão até obtermos resto 1 para todos os números. Observe o exemplo ao lado. mmc (4, 8, 12, 16) = 48 mmc (10, 12, 15) = 60 4,8, 12,16)2 10, 12, 15|2 2,4, 6 8|2 5, 6, 15/2 14,2, 3, 4|2 5, 3,15/3 1,1, 3 2]2 5 1 55. ted x 1 L 11 2x3x5=4x3x45=60 4 2Zx3=1l6x3=48 Propriedade: Observe, o mmc (10, 20, 100) , note que o maior deles é múltiplo dos menores ao mesmo tempo, logo o mmc entre eles vai ser 100. Exemplo: mmc (150, 50 ) = 150, pois 150 é múltiplo de 50 e dele mesmo mmc (4, 12, 24) = 24, pois 24 é múltiplo de 4, 12 e dele mesmo Números Racionais O conjunto dos Números Racionais (Q) é formado por todos os números que podem ser . escritos na forma a/bondeaebiZeb 0 ( 1º Mandamento da Matemática: NÃO DIVIDIRAS POR ZERO) 23 1 -5 Exemplos: q" /0,25 5 (simplificando) , qu Operações As operações com número racionais segue as mesma regras de operação das frações. Adição e Subtração Reduz-se as frações ao mesmo denominador. Para isso devemos encontrar o mmc dos denominadores, criarmos uma mesma seqgiiência de fração com o novo denominador e numerador igual ao resultado da divisão do novo denominador pelo velho multiplicado pelo numerador velho, Exemplo: 2 =t+ ommc(3,4)=12entt— +— dividindo-se 12 por 3 e multiplicando-se por 2, 3 4 1 12 8.317 5 >+D=L=1— 1W 12 12/12 Polícia Rodoviária Federal 15 Matemática para Concursos depois dividindo-se 12 por 4 e multiplicando-se por 3 temos Multiplicação Multiplica-se os numeradores e os denominadores obtendo-se assim o resultado. É importante observar se o resultado da multiplicação não pode ser simplificado ( dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número) , normalmente isso é possível e evita que se faça operações com números muito grandes : = E simplificando por 3 temos como resu Édo ta | tm va | Divisão Deve-se multiplicar a primeira pelo inverso da seg 35 365 e D.D=0D=— simplificando por 2 ficamos 4545 com — tú Expressões Quando se resolve expressões numéricas devemos observar o seguinte: a. Deve-se obedecer a seguinte prioridade de operação: 1º - multiplicação e divisão na ordem em que aparecer 2º - soma e subtração na ordem em que aparecer b. Deve-se primeiro resolver as operação dentro do parênteses, depois do colchete e por fim da chave, e dentro de cada separador obedecer as regras do item a Exemplos: E 3) 5 resolva a operação que esta dentro do parenteses : mme(2, 2 =6 3 44 = 75.35 —“+— As + — -2=DD GG 5 5 G g > 4 2d EE) eiro os parenteses, e no segundo parênteses primeiro a multiplicação [5-5] [5-5 = tdi -di2]) Loo -iZzzito o -123 — > = 15 3 3 45 3 135 Números Fracionários Frações Polícia Rodoviária Federal 16 Matemática para Concursos à Será representado em nossa apostila da seguinte forma: a/b b O símbolo E significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: a/b de fração; a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então a/b é um número natural. Veja um exemplo: A fração 12/3 é igual a 12:3. Neste caso, 12 é o numerador e 3 é o denominador. Efetuando a divisão de 12 por 3, obtemos o quociente 4. Assim, 12/3 é um número natural e 12 é múltiplo Oirênte muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário. O significado de uma fração Algumas vezes, a/b é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de a/b? Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Michele comeu 4/7 de um bolo. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, Aline teria comido 4 partes: Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline, e a parte branca é a parte que sobrou do bolo. Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2,3,4,5,6,7,8,9e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... 1/2 um meio 2/5 Dois quintos 1/3 um terço 4/7 quatro sétimos 1/4 um quarto 7/8 sete oitavos 1/5 um quinto 12/9 doze nonos 1/6 um sexto 1/10 um décimo 1/7 um sétimo 1/100 um centésimo 1/8 um oitavo 1/1000 um milésimo 1/9 um nono 5/1000 Cinco milésimos Frações Próprias São frações que representam uma quantidade menor que o inteiro, ou seja representa parte do inteiro. Exemplos: Polícia Rodoviária Federal 17 Matemática para Concursos Potenciação e radiciação de números fracionários Potenciação Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente: Exemplos: 9) 333.9 — =>K—-K— = — a) 4 44 64 Na radiciação, quando aplicamos a raiz a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador: Exemplos: E 255 48.2 16 4 819 27 3 Fracao geratriz Conforme você já estudou, todo número racional (Conjunto Q), resulta da divisão de dois número inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro ou decimal. Convém lembrar que temos decimais exato. Exemplo: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689 Temos também decimais não exato (dízima periódica) Exemplo: 2,555555....; 45,252525....; 0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999.... Você deve saber, que em uma dízima periódica a parte decimal que repete, recebe o nome de período, a parte que não repete é chamada de ante-período, a parte não decimal é a parte inteira. Exemplo: Dízima periódica composta Dízima periódica simples 2,4555... 2.555... CD Períodos CR período 5 Ante-período Parte inteira Parte inteira Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica Dízima periódica simples: Devemos adicionar a parte decimal à parte inteira. Devemos lembra que a parte decimal será transformada em uma fração cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um número formado por tantos noves quantos sãos os algarismos do período. Exemplos: 2 0+2 & 25 D+25 25 4 g+4 13 02222, =0+)=>"L.Í qoasasos,.=q+— =D =— 1444, =1+0= = 9 q 9 og 99 99 9 9 9 Dízima periódica composta Devemos adicionar à parte inteira uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período, seguindo de um período, menos o ante-período, e cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto são os algarismos do ante-período. Exemplos: Polícia Rodoviária Federal 20 Matemática para Concursos Período = 47(implica em dois noves) Ante-período = 1 (implica em um 0) 07-0 77 + =p. =À ao 90 SO Período = 7 Ante-período = O 0,0777...=0 Números Decimais Fração Decimal São frações em que o denominador é uma potência de 10. 3. d7 3 1 5 47 10" 10" 100) 100º 1000" 10000 Toda fração decimal é escrita na forma de número decimal. Exemplos: 3 ao du 3a sai 3 a . sc HE sa — Três décimos; — Três centésimos; — Três milésimos; Três décimo de milésimo 10 100 1000 10000 Números Decimais 3 3 3 — = 03 — = 0,03 ——— = 0,003 10 100 1000 10000 = 0,0003 Lendo número decimais: 0,25 = Vinte e cinco centésimos; 2,24 = Dois inteiros e vinte e quatro centésimos 12,002 = Doze inteiros e dois milésimos; 0,0002 = Dois décimos de milésimos Transformando uma fração decimal em número decimal: 25 13 121 325 45 4225 — = 0,25, —=1,3) — =12,1, — = 3,25; —>—— = 0,045, —— = 422,5 100 10 10 1 1000 10 Observe: Denominador 10 um número depois da vírgula, denominador 100 dois números depois da vírgula, denominador 1000 três números depois da vírgula e assim por diante. Transformando um número decimal em fração decimal: 2 25 231 2 443 2313 10023 0,2-—; 2,5-—; 231=—; 0,02 = ——; 4,43=——, 2,313 =, 1,0023 = 10 10 100 100 100 1000 10000 Observe: Um número depois da vírgula denominador 10, dois números depois da vírgula denominador 100, três números depois da vírgula denominador 1000 e assim por diante. Propriedade: Um número decimal não se altera ao acrescentarmos zeros a direita do seu último número. Exemplos: 0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0,40000 0,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0,230000 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000, 1,20000 Adição Na adição de números decimais devemos somar os números de mesma ordem de unidades, décimo com décimo, centésimo com centésimo. Antes de iniciar a adição, devemos colocar vírgula debaixo de vírgula. Polícia Rodoviária Federal 2 Matemática para Concursos Exemplos: 7,400 03+081 0,30 1,42 1,250 1,42 +2,03 ,DBl 205 , atiz 7,4 + 1,23 +3,122 Lt 3,45 Ns Subtração A subtração de números decimais é efetuada da mesma forma que a adição. 4,4-1,21;2,21-1,211;9,1-4,323 4,40 2,210 9,100 Lelo Bill 4323 3,19 0,999 art Multiplicação Efetuamos a multiplicação normalmente. Em seguida, contam-se as casas decimais de cada número e o produto fica com o número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores. Exemplos: 49 aa naus aninanuas " 421 023 0,42 *2,1 142 RR 421 dá nas + Bda 0G6 + 042 sB41 + 023 0,504 D,3266 Divisão Na divisão de números decimais, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de casas decimais. Devemos igualá-las antes de começar a divisão. 7,02:3,51 z,02/3,51 702 |351 Observe: O número de casas decimais são iguais, eliminamos a 702 & vírgula e efetuamos a divisão normalmente. & divisão é exata O Doo resto é zero. 11,7:2,34 Observe: Eliminamos a vírgula e efetuamos a divisão. aLr[254 ato [Em 1170 [234 o ra E - E Resto igual a zero divisão exata, Igualamos o número Ai7D de casas decimais. 0000 23:7 as |7 Observe: & divisão não é exata. O número 3,2 e3|7 21 representa o quociente aproximado, por falta, até eia dao décimo. Quando o quociente possui duas casa 02 14 decimais a aproximação, por falta, até centésimo e Divisão não exata, DE assim por diante. 9 2 Quando acrescentamos a virgula a direita do quociente 3 almentamos um zero no resto 2. Matemática para Concursos Raiz de um número real 1º caso:a > 0 ené par. vamos calcular a 449 onde n=2(parj e a= 49(número positivo) Temos que en =49 e um =40, então 440 = 47, Devemos lembrar que o resultado de uma operação deve ser único, então a 449 =7 2º caso: a > 0 en é ímpar. vamos calcular a 425 onde n=3(impar) e a= 125(número positivo) Temos que 2 125 = 5, porque 5? =5x5x5-=125 3º caso: a < 0 en é impar. vamos calcular a 35% onde n= a(impar) e a=-B(número negativo) Temos que 28 = -2, porque [0 =(-Dx(-BDxi-=-8 4º caso: a < 0 en é par. vamos calcular a q/-81 onde n=2(par) e a=-Sl(número negativo) Temos «FBi=não existe, porque não exite um número que elevado ao quadrado seja igual a -B1 Razão Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ! O, aoquociente entre eles. Indica-se a razão de a para b Es por oua:b. Exemplo: Na sala da 62 B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) 20-5 . . Tas = z (Indica que para cada 4d rapazes existe 5 moças) Voltando, ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes. ——— = — (indica que para cada 5 moças existe 4 rapazes, 005 Ei que p ç pazes) 2 . E -se, 2está para 5ou 2 para 5 E -se,Bestá para 9 ou & para 9 Lendo Razões: 5 a Termos de uma Razão Antecedente EM 6 7 Consequente Grandezas Especiais Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real. Polícia Rodoviária Federal 25 Matemática para Concursos Escala- Medida do desenho Medida real Exemplo: Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa. As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm 7,2em Escadla=-"D— =-————— 432000 000em 50000000 Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes) Velocidade - Distância Tempo Exemplo: Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade média deste carro. Velocidade dim = 80kmh (significa , que este carro anda em média 80km em lh) Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área. Nº de habitantes Area Densidade demografica — Exemplo: O estado do Ceará tem uma área de 148 016 km? e uma população de 6 471 800 habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará. Densidade = Te =43,32 hab/km 2 . (sigmica que cada 1km? é habitado por 43/72 pessoas) Razões Inversas . and Vamos observar as seguintes razões. E g Ico Observe que o antecessor(5) da primeira é o consequente(5) da segunda. Observe que o conseguente(8) da primeira é o antecessor(8) da segunda. O produto das duas razões é igual a l,isto é, g"5o 1 Dizemos que as razões são inversas. Exemplos: x 4,5 A razão inversa de — É — 5 4 6,7 A razão inversa de 5 É E Proporção Proporção, é uma igualdade entre duas razões. Polícia Rodoviária Federal 26 Matemática para Concursos Dados os números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, dizemos que eles formam, nessa ordem uma proporção quando a razão de a para b for igual a razão de c para d. meios a:b=ec:d + meios extremos extremos 2 4 , . : Naproporção z = w' lemos, Zestã para cce assim como 4 está para 10. Os extremos são 2 e 10, os meios são 5 e 4. Propriedade Fundamental das Proporções Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplos: a) 5 = 19 é uma proporção, produto des meios éigual ao produto dos extremos, 2x10= 5xd De 8 3 = q , é uma proporção, produto dos meios é igual ao produto dos extremos, 6x4= 3x8. Trabalhando com Proporção Exemplos. Determine o valor de x nas seguintes proporções. a) Dol ss g=3sim=02= sg=2 3. = 15 b) E dos (2+3)=4d2>6e418-48= 6a datos te 0a E sans c) E Dad uns beu O Soquete = 5 7 a 14 d) 1.2 3. 341,2 258 44,15 u=34515k=125x =? 4 2 2 3 35 3/15 15+3 5 5 Calcule y, sabendo que os números 14, 18, 70 e y formam, nessa ordem, uma proporção. LD sys gosto p= OS, = 00 E y 14 Média Você escuta a todo momento nos noticiários a palavra média. Exemplo: A média de idade da seleção brasileira é 23 anos. A média de preço da gasolina é 1,33 reais. Polícia Rodoviária Federal 27 Matemática para Concursos Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo. Grandezas Diretamente Proporcionais Em um determinado mês do ano o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse dado podemos formar a seguinte tabela. Quantidade de Quantidade a pagar gasolina (em litros) (em reais) 1 0,50 2 1,00 3 1,50 Observe: Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra. Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica. Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica. Observe, que as razões são iguais. 1050 2 100 1 2100 3 Grandezas inversamente proporcionais Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. Observe a tabela: Número de alunos [Números de livros escolhidos. para cada aluno 2 12 4 6 6 4 Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante. = : Ê ;- sho tetas 1 2 4 ti É l Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro. Regra de Três: Simples e Composta Polícia Rodoviária Federal 30 Matemática para Concursos Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplica-las na resolução de problemas. Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos. Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido? Tecido(m) Preço 8 156 412 x Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago. E 56 = 8x =12.156=b8z = 1872 = x = 1876 = 12 = Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. A quantia a ser paga é de R$234,00. = 234 b) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? Velocidade(km/h) Tempo(horas) | 60 4 80 x Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa. Resolução: 240 4.80 80» = 4-60=00x-=240=>x=>— = =3horas ” 60 sa Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas. Regra de Três Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplo: a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m?? Horas Caminhões Volume a 20 160 5 x 125, Nr Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1a coluna). Polícia Rodoviária Federal 31 Matemática para Concursos Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 32 coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Resolução: Mis = A = t=)58t=05 20 53-35 tribo ê Será preciso de 25 caminhões. Porcentagens Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem. 5 78 — =124, —=54, — = 8% Exemplo: 100 100 100 Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento. Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita frequência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc. Exemplos: O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%. A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de 25% nas compras à vista. Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos. Exemplos: om-2-025 mo qu- Eco am-L-o003 100 , 100 , 100 , 100 Trabalhando com Porcentagem Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens. Exemplos: 1. Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista? 10% =— 100(primeiro representamos na forma de fração decimal) 3000 — x300=>—— =30 10% de 100 => 10% x 100 = 100 100 300 - 30 = 270 Logo, pagarei 270 reais. 2. Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou. 32% = 100 32 3200 32% de 100 => — x100=> >— =32 oo 100 Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira. 3. Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo. 25% = 2 100 as de 2000 => 22xeggoo = 22000 = soy 100 100 O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro. Então, 2000 + 500 = 2500 reais. Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais. Polícia Rodoviária Federal 32 Matemática para Concursos Logo, o juro que este capital vai render é de 2 500 reais. Juros Compostos Chamamos de juros compostos as operações financeiras em que o juro é cobrado sobre juros. Pense assim, você emprestou um certa quantia a um amigo a uma taxa de 2% ao mês, no mês seguinte os 2% será cobrado sobre o total do mês anterior (capital + juros), e assim vai mês a mês, Vale lembrar que, existe vários exemplos deste tipo de juros, basta observar o rendimentos das cadernetas de poupança, cartões de créditos e etc... Fórmula para o cálculo de Juros Compostos. M=Cx(1+i) C = Capital inicial i = taxa %o por período de tempo t = número de períodos de tempo M = montante final = (captital + juros) Exemplos de aplicação da fórmula anterior: 1. Aplicou-se a juros compostos uma capital de R$ 1.400.000.00, a 4% ao mês, durante 3 meses. Determine o montante produzido neste período. C = 1.400.000,00 i=4%am(aomês) t= 3meses M= cx(1+i) 1.400.000 x (1 + 0,04)? 1.400.000 x (1,04) 1.400.000 x 1,124864 1.574.809,600 O montante é R$ 1.574.809,600 Obs: devemos lembrar que 4% = 4/100 = 0,04 zzz==> Ma o 2. Qual o capital que, aplicado a juros compostos a 8% ao mês, produz em 2 meses um montante de R$ 18.915,00 de juros. C=? i=8%am(aomês)t=2meses M= 18.915,00 M=Cx(L+I 18915 = Cx (1 +0,08) 18915= Cx (1,08)? 18915 = Cx 1,1664 C=18915:1,1664 C = 16.216,56379 O capital é R$16.216,56379 Obs: devemos lembrar que 8% = 8/100 = 0,08 3. Durante quanto tempo esteve aplicado, em uma poupança, o capital de R$ 180.000,00 para render, de juros, a importância de R$ 22.248,00, se a taxa foi de 6% ao mês? C = 180.000,00 i = 6% am (ao mês) t= ? M= 180.000,00(capital) + 22.248,00(juros) = 202.248,00 M=Cx(L+i 180000 = 202248 x (1 + 0,06): 180000 = 202248 x (1,06) (1,06)! = 202248 : 180000 (1,06)! = 1,1236 t log1,06 = log1,1236 (transformamos em logaritmo "faça uma revisão") Polícia Rodoviária Federal 35 Matemática para Concursos te log1,1236 — D,0505 | 2 log1.06 0,0253 O tempo é 2 meses. Obs: devemos lembrar que 6% = 6/100 = 0,06 4. A que taxa ao mês esteve aplicado, em uma caderneta de poupança, um capital de R$ 1.440,00 para, em 2 meses, produzir um montante de R$ 1.512,90? C=1.440,00 i=?%am(aomês) t= 2meses M= 1.512,90 M=Cx(L+i 1512,90 = 1440x (1 +)? (1 + )2= 1512,90 : 1440 (1 +)? = 1,050625 1+ =+/1,050625 1+i=1,025 i=1,025-1 2,5 i=0,025=DD = 2,5% 100 A taxa é 2,5% ao mês. Sistemas de Medidas Áreas Medindo Superfícies Assim como medimos comprimento, também medimos superfícies planas. Quando falamos em medir uma superfície plana, temos que compara-la com outra tomada como unidade padrão e verificamos quantas vezes essa unidade de medida cabe na superfície que se quer medir. Unidade de Medida de Superfície Devemos saber que a unidade fundamental usada para medir superfície é o metro quadrado(m?), que corresponde a área de um quadrado em que o lado mede 1 m. tim E] D] im O quadrado que possui essas medidas tem uma área de Im2 LI DI Im Quadro de Unidades Usadas para Medir Superfícies Unidade Múltiplos fundamen |Submúltiplos tal km 2 hm ? dam 2 m? dm ? em 2 mm 2 ;1-000.000m 10.000m 2? |100m? im? 0,01m ? 0,0001m 2? | |0,000001m ? Observe que cada unidade é 100 vezes maior que a unidade imediatamente anterior. Polícia Rodoviária Federal 36 Matemática para Concursos Calculando Áreas Área de Paralelogramos Lembre-se que paralelogramos são os quadriláteros que possui os lado opostos paralelos. base Área do paralelogramo = base(b) x altura(h) Área do Paralelogramo: ou altura A=bxh Área do Retângulo = base x altura ou altura(h) A=bxh base(b) Área do Retângulo: Área do Quadrado: lado(l lado(l) lado(l) Área do Losango Todo quadrado é um retângulo. logo calculamos a área do quadrado lado(l) da mesma forma que calculamos a do retângulo, trocamos base e altura pelos lados 2 Área do quadrado = ladoxlado ou A=Ex£ ouÃs=€ Polícia Rodoviária Federal 37 Matemática para Concursos 1 hectare(ha) = 10.000(m?) 1 are(a) = 100(m?) Exemplos: Uma fazenda possui 120 000 m? de área, qual a sua medida em hectare? 120.0000 : 10.000 = 120 ha. Uma fazenda possui 23,4 ha de área, qual a sua área em m? ? 23,4 x 10.000 = 234.000 m? Circunferência e culo Circunferência: é um conjunto de pontos de um mesmo plano que estão a uma mesma distância de um ponto pertencente a este mesmo plano. Este ponto é o centro da circunferência, a distância do centro à circunferência chamamos de raio(r). Exemplo: (O é o centro da circunferência e OP é o raio da circunferência) Região Interior e Exterior de uma Circunferência Exemplo: Externa Interna o Corda, Diâmetro e Raio Corda: é um segmento de reta que toca a circunferência em dois pontos distintos. Diâmetro: é a corda que passa pelo centro e divide a circunferência em duas partes iguais. Raio: é o segmento de reta que tem uma extremidade no centro da circunferência e o outro na própria circunferência. Exemplo: T pr Sa OP raio cia circunferência Da Ei qe E TE corda da circunferência A SF diâmetro da circunferência P Arco da Circunferência Exemplos: D E F arco menor G e DF arco maior E Polícia Rodoviária Federal 40 Matemática para Concursos Semicircunferência Devemos notar que o diâmetro divide a circunferência em duas partes, cada uma destas partes é chamada de semicircunferência. Exemplo: Círculo É a reunião da circunferência com sua região interna. Centro, raio, corda, diâmetro e arco de um círculo são o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o arco da circunferência. Exemplo: Posições Relativas de Reta e Circunferênc: Reta secante é a reta que toca a circunferência em dois pontos distintos. Exemplo: A H Reta secante Reta tangente é a reta que toca a circunferência em apenas um ponto. Reta tangente Exemplo: Reta externa Polícia Rodoviária Federal 41 Matemática para Concursos é a reta que não toca nenhum ponto da circunferência. Exemplo: Reta extema Comprimento da Circunferência O comprimento de uma circunferência é o número que representa os perímetros dos polígonos inscritos nessa circunferência quando o número de lados aumenta indefinidamente. Podemos entender comprimento como sendo o contorno da circunferência. Exemplo: Uma volta completa em torno da terra. O comprimento de um aro de bicicleta. O comprimento da roda de um carro. O comprimento da bola central de um campo de futebol. Calculando p Esta é uma constante (seu valor não muda nunca). Esta surgiu da divisão do comprimento pelo diâmetro da circunferência. Verificou-se que não importava o comprimento da circunferência, sempre que dividia o comprimento pelo diâmetro o resultado era o mesmo (3,14159265....), para não termos que escrever este número a todo o momento ficou definido que esta seria representado pela letra p (pi) do alfabeto grego, lembre-se usamos p apenas com duas casas decimais p = 3,14. Calculando o Comprimento da Circunferência Devemos fazer algumas observações, veja: > x —> C=aD devemos lembrar que D= 2r (diâmetro éigual ao dobro do raio) logo C = 2ar (comprimen to = 2 vezes x vezes o raio) Para calcularmos o comprimento de uma circunferência usamos a fórmula C = 2pr. Exemplos: 1. Determine o comprimento de uma circunferência em que o raio mede 3 cm. C=2ar basta substituir mos or por 3cm ex por 3,14. C=2x3,14x3cm > C=18,84cm 2. Vamos calcular o raio de uma circunferência sabendo que o comprimento mede 62,8 m. C = 2zr basta subsitur mos Cpor62,êm ex por3,14d 62,8m 62,8m=2x3, ldxr =>62,8m=6,28xr>r= >r=10m Calculando a Área de um Círculo Para calcularmos a área de um círculo usamos a fórmula à =y ? Exemplos: Polícia Rodoviária Federal 42 Matemática para Concursos cxlxh 122mx6mx1,5m 108 m? V V V Perímetro de um Polígono Perímetro de um Polígono Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. Perímetro do retângulo b h b - base ou comprimento h h-altura ou largura Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h) b Perímetro dos polígonos regulares Ê £ £ Triângulo equilátero Quadrado P=II+] P=I+I+H1] P=3:I P=4:| Pentágono Hexágono P=i+[+1+1+] P=+[+[+1+]+] p=5 P=6:| | - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular Para um polígono de n lados, temos: P=n:l Comprimento da Circunferência Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros? Polícia Rodoviária Federal 45 Matemática para Concursos Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda. Início e fim da volta [++ H D D D D=40cm Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental. Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática: Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14. Assim: e = 9d D O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14. Logo: Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. =" > C=Dx > C=2tr > Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda obtido experimentalmente. C=2pirC=23,14:20-C=125,6cm 3,141592... Sistema Métrico Decimal Sistema Métrico Decimal Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal. Polícia Rodoviária Federal 46 Matemática para Concursos Metro A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede”. Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928. Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: (Dl die joio Fundamenta Submúltiplos | Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: miícron (4) = 10º m angstrón (À) = 101º m Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5 - 10! km O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: Pé = 30,48 cm Polegada = 2,54 cm Jarda = 91,44 cm Milha terrestre = 1.609 m Milha marítima = 1.852m Observe que: 1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés Leitura das Medidas de Comprimento A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m. Seqiiência prática 1º) Escrever o quadro de unidades: km [ooo] (Elas) m dm cm mm 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva. km [ooo] (Elas) m dm cm mm 3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma. 15 metros e 48 milímetros Outros exemplos: 6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros" 82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete Polícia Rodoviária Federal 47 Matemática para Concursos Equação9a -4=8+6a Vamos substituira por4 >> 9(4)-4=8+6(4) >> 36-4=84+24 >> 32=32 Então, o número 4 é raiz da equação ou seja conjunto solução. 2. Vamos verificar se o número - 3 é raiz da equação 2x - 3 = 3x + 2. Vamos substituirx por-3 >> 2(-3)-3=3(-3)+2 >>-6-3=-94+2 >> -9=-7, sentença falsa - 9 é diferente de -7 (-9 É - 7). Então - 3 não é raiz da equação ou seja não é conjunto solução da equação. Equações Equivalentes Duas ou mais equações que possui o mesmo conjunto solução (não vazio) são chamadas equações equivalentes. Exemplo: 1. Dada as equações , sendo U = x+2=8, araiz ou solução é = x=8-2,araiz ou solução é = 6 x =6,a raiz ou solução é = 6 Q. 6 Podemos observar que em todas as equações apresentadas a raiz ou o conjunto solução é o mesmo. Por esse motivo, são chamadas equações equivalentes. Resolvendo Equações do 1º Grau Resolver uma equação do 1º grau em um determinado conjunto universo significa determinar a raiz ou conjunto solução dessa equação, caso exista solução. Resolução: Exemplo: Vamos resolver a equação 5a + 11 = - 4, sendo U = Q. Aplicando o principio aditivo, vamos adicionar -11 aos dois membros da equação, e isolar o termo que contém a variável a no 1º membro. Sa+li=-4 Sa+ll+(-11)=-4+(-11) axé +bx+c=0 (adicionamos - 11 para podermos eliminar o + 11 do 1º membro) Sa=-4-11 Sa=-15 Aplicando o principio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros por (1/5) Sa. (1/5) =-15.(1/5) (multiplicamos os dois lados por (1/5) para podermos eliminar o 5 que multiplica a variável) a 5 5 a=-3 logo-3€Q, S=4€-3) obs: Devemos lembrar que equação é uma igualdade, tudo que fizermos em um membro temos que fazer no outro para que a igualdade permaneça. Modo prático: Se você prestou atenção na resolução, deve ter observado que o número que estava em um membro com determinado sinal aparece no outro membro com sinal diferente, e quem estava multiplicando aparece no outro membro dividindo. No processo prático fazemos assim. Sa+li=-4 5a = - 4 - 11(observe o sinal do número 11) Polícia Rodoviária Federal 50 Matemática para Concursos 5a =-15 -(1/5) (observe o número 5) t3 Resolvendo equações pelo método prático: Exemplos: a a s 1) Resolva as seguintes equações do 1º grau com uma variável sendo U = Q a)y+5=8 y=8-5 (+5 passou para o 2º membro - 5) y=3 S = (3) b) 13x - 16 =-3x 13x + 3x = 16 (- 3x passou para o 1º membro + 3x) 16x = 16 x= 16/16 (16 estava multiplicando x, passo para o 2º membro dividindo) x=1 S=(1) c) 3(x- 2) - (1 -x)= 13 (aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação) 3x-6-1+x=13 3x+x=13+6+1 (+6e+1, passaram parao 2º membro -6e-1) 4x = 20 x= 20/4 (4 passou para o 2º membro dividindo) x=5 Ss =«(5) t at d)--— = —1 (tiramos o mmc) 4 10 5 5t-14 8t-20 20 20 5t -14 = 8t - 20 (cancelamos os denominadores) 5t-8t=-20+14 - 3t = - 6 (multiplicamos por - 1, 1º membro é negativo) 3t=6 t=2 S =) 2) Vamos resolver a equação 5x - 7 = 5x - 5, sendoU = Q. 5x-7=5x-5 5x-5x=-5+7 Ox =2 x=2/0 Não existe divisão por zero, dizemos que a equação é impossível em Q, então S = ( J(vazio). 3) Vamos resolver a equação 5x - 4 = -4 + 5x. 5x-4=-4+5x 5x-5x=-4+4 Ox =0 Dizemos que esta equação é indetermina (Infinitas soluções), logo S = Q. 4) Determine o conjunto solução da equação 18m - 40 = 22m, sendo U = N. i8m - 40 = 22m i8m - 22m = 40 -4m =40(-1) 4m =-40 m= -40/4 Polícia Rodoviária Federal 51 Matemática para Concursos m =-10 Não existe - 10 no conjunto N(naturais), logo S = € 5. Usando Equações para Resolver Problemas do 1º Grau Exemplos: 1)Um número somado com seu dobro é igual quinze. Determine este número. é igual seu dobro um número — x + 2x =15 quinze somado x+2x=15 3x = 15 x= 15/3 x=5 O número procurado é 5. 2)Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos há nesse terreiro? Coelho = x Galinhas = 13 - x (total de animais menos o número de coelhos) Logo, 4x+2(13-x)=46 (número de pés de coelho vezes o numero de coelhos + número de pés de galinha vezes o número de galinha é igual ao total de pés). 4x+2(13-x)=46 4x + 26 - 2x = 46 4x - 2x =46 - 26 2x = 20 x= 20/2 x=10 Número de coelhos = 10 Número de galinhas = 13 - 10 =3 Inequações de 1º grau Denominamos de inequação, toda sentença matemática aberta representada por uma desigualdade. O sinais de desigualdade que usamos nas inequações são: >(maior), <(menor), £(menor e igual), 3(maior e igual). Exemplos: 2x-5<2, 4x - 3(x+2) > 5(x+9), 2m-6 £ m-700 Resolução A forma que usamos para resolver as inequações é a mesma usada nas equações, observando que as equações são igualdades e as inequações são desigualdades. Exemplos: x-9>7-x at8x-22+3 Polícia Rodoviária Federal 52 Matemática para Concursos Conclusão: Neste tipo de equação sempre a raiz vai ser igual a zero. Equações Completas ax +bx+c=0 -cbiyA Usamos 2 Fórmula de Báskara.(Foi um matemático indiano) A= lê-se Delta =b? -4ae A, é o discriminate da equação. Observe, que a, be c são os coeficientes da equação do 2º grau. Resolução Exemplos: x2-8x+12=0 a=1,b=-8ec=12 2. = dac primeiro vamos calcular o valor de delta) A=(-8B-a(fiz) (substituímos a por 1, b por -8e c por 12) A=64-48 A=16 (Delta positivo) bia (fórmulas Baskara) ses X-1) (substituímos b por - 8, delta por 16 e a por -1) x = 84 s'-EÉ do Puta TÉ sxX=>— = =-6 -2 2 2. 12x+36=0 5-1, b=-12ec=36 A=b2 dae A=(-122 -4(1)%36) A=144-144 Polícia Rodoviária Federal 55 Matemática para Concursos A=0 (Delta igual a zero) -b+VA (D+40 x=12£0 X=>—D—— XD DT z 2a 21) "1240 12 " 12-0 12 =| =D =6 =| =D =6 2 2 2 S = (6) 2x2- 4x +3 = A=bê dae A=(AP AI) A-16-24 A-=-8 (Delta negativo) S =), não existe raiz de número real negativo Importante D > O(Positivo) A equação possui duas raízes reais e diferentes. (x 1 x”) D <o0 (Negativo) A equação não possui raízes reais. D=0 A equação possui duas raízes reais e iguais. (x = x”) Problemas Envolvendo o Discriminante (Delta) Exemplo: Determine o valor de m na equação 2x? + 3x + m, para que as raízes sejam reais e iguais. D = O (Raízes reais e iguais) a=2,b=3ec=m =b2-4a; bi-quero G)2-4(Am-o 9-8m=0 —8m=-9(-1) $m=9 9 8 (Esta equação só vai possuir raízes reais e iguais quando m = 9/8) Determine o valor de m na equação 2x? - 4x + 5r, para que as raízes sejam reais e diferentes. D>0 a=2,b=-4ec=5r A=b?-4ac b2-4ac>0 (CAP -ASr>0 Polícia Rodoviária Federal 56 Matemática para Concursos 16-40r>0 —40r>-16(-1) 40r<16 (quando multiplicamos por - 1 o sinal da desigualdade muda) < 16:8 r <& 40:8 (Esta equação só vai possuir raízes reais e diferentes quando r < 2/5) r Determine o valor de k na equação -3x? + 5x - 2k, para que não exista raízes reais. D<o a=-3,b=5ec=-2k a=b2-4ac b2-4ac<0 (5) -A(-3H-2K<0 25-24k <0 —24k «-25(-1) 24k > 25 25 k>— 24 Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º Grau É possível calcular a soma ou produto das raízes da equação do 2º grau sem precisar resolver a equação. Graças as relações de Girard. - Soma das raízes. -b -b x+x"-— ou S= a - Produto das raízes. c c xx" => ou P=— a a Exemplos: Calcule a soma e o produto das raízes equações do 2º grau. x+7x+12=0 a=1,b=7ec=12 g=P o g=1t) >8=-7 a 1 p=E5p-llsp-1 a 1 Determine o valor de p na equação 4x? - (m - 2)x + 3 = O para que a soma das raízes seja 3/4, g=3=,0b.3 [tm -2)] [3 c[m+2] 3 m2 3 4a 4 4 4 4 4 d(m-)=4-(3) >4m-8=12 >4m=12+8> 4m=20 =m-Bom-5 Polícia Rodoviária Federal 57 Matemática para Concursos Verificação: x= ada verificano x = 0 0 = 4.0 — Substituimos x por O. 0=4=0 O = O verdadeiro osdois membros são iguais. veridicando x = 16 16 = 4/16 —Substituimos x por 16. 16 =4x4 16 = 16 verdadeiro os dois membros são iguais, S=(0,16) b) cu-du-l=32-7 -du-l=34-7-2% ->Nncl=n-T É ala — TP = k - 7P — Elevamos os dois lados ao quadrado. x-1=x2-14x +49 -1 -42 +14% -49+4-1=0 “E + 15x - 50 = O-——chegamos em uma equação do 2º grau completa. =nê dg =bí-d4ac Resolvemos a equação usando a a =P -s(al-so)= 4 =225-200= 4 = 25 fórmula de Bháskara, .- -beqã o -(15)+ 425 1545 za 2-1) -2 1=:220.45 -2 Verificação: On-n-1=38-T verificando x = 10 2(10) 40 -1=3(10)-7 D-49=30-7 eqn-3=23 17 = 23 Falso os dois lados são diferentes. — verificando » = 5 60 45)-458-1=3(5)-7 10-42 =15-7 Matemática para Concursos Equações Fracionárias Definimos como equações fracionárias toda equação que possui variável ou incógnita no denominador. Lembrando sempre que o termo equação significa igualdade. Exemplos: 50. 2 - E 2x8 1 To 8... 4 x+2 Xx-2 w-4 x2-25 x-5 x x+2 x+2 Resolvendo equações fracionárias Antes de começarmos a resolver devemos observar : 1º Passo: Determinar o conjunto universo ou campo de existência. 2º passo: Resolver a equação usando os conhecimentos aprendidos na 62 série. Exemplos resolvidos: Vamos resolver as seguintes equações fracionárias: o 21.8 »i2 4 5 x 415 % O XD3 1º) Vamos determinar o conjunto 1º) Vamos determinar o conjunto universo. universo. (lembre-se não existe divisão xa por zero por este motivo ) 4224054842 xa O, logo o conjuntol =R * logo o conjunto LU =R +23 2º) Vamos a resolução: 2º) Vamos a resolução. mmc (5, x, 15) = 15x dé 4 12x-15 17% * o 4m2 15x 15x Ommc (x;x-2) =x (x- 2) 12x — 15 = 17x 12-92) dx 1x — 17x=15 XX) Xx-2) = 5x = 1561) 12x 24 = ax 5x = —15 x-4x=24 x-288 8x = 24 5 24 x=3 X= Ts 5= 1-3+ x=3 S=(3) Polícia Rodoviária Federal 61 Matemática para Concursos 9 x=1x+410 W2-% A x-3 x+3 429 1º ) Vamos determinar o conjunto universo. x-3+0 então x=3 x+3= O então x=-3 Logo o conjunto U=R-[-3+3) 2º) Vamos a resolução. Mme(x-3), (x+3), (x? - 9) = (x+3)(x-3) este é o múltiplo entre eles ADE-DAR=-IM+AD O DÊ-M it 343 Cancelamos os denominadores x2-nx+%M-3+(24+X-3K- 3) = 242 - 2X x2-x+3%k-3+x24+x-3X-3 = DÊ - DX EA E 4 == 7 42x = 3+3 Cancelamos o termos opostos 2x =b 6 2 X= x= 3(lembre- se que x tem que ser diferente dezero) Logo 5 = ( Jconjunto vazio Revisão: Sempre que formos resolver uma equação fracionária, primeiro devemos determinar o conjunto Universo ou seja o campo de existência. Calculamos o mmc entre os denominadores. Lembre-se, que durante a resolução substituímos os antigos denominadores pelo mmc, depois dividimos o mmc pelos antigos denominadores, pegamos o resultado e multiplicamos pelo denominador. Você pode observar que em toda equação irracional devemos fazer a chamada verificação, o motivo que nos leva a verificar é o fato da variável ou incógnita está dentro do radicando (raiz). Equações Biquadradas Você já estudou ao longo de sua vida escolar as equações de 1º grau, as equações de 2º grau agora chegou a hora de aprendermos as equações biquadradas( Bi = duas vezes) Definimos como equações biquadradas as equações escritas na seguinte forma: ax +bx +c=0 a, be c são chamados coeficiente numéricos. a pertence a R' Ou seja a é um número diferente de zero. b pertence a Rec pertence a R, Ou seja "b" e "c” podem ser qualquer número real. Exemplos: xº-2x2+6=0 ox! - 42x2=0 Bx*-x2+8=0 -x* +6=0 [7x -5x2+8=0 -2x*-x2+8=0 Obs: Note que nos exemplos temos equações biquadradas completas (quando possui todos os coeficientes numéricos) e incompletas (quando falta um dos coeficientes numéricos b ou c, lembrando que o coeficiente a existirá sempre). Polícia Rodoviária Federal 62 Matemática para Concursos Observe que para usar a fórmula da soma primeiro devo calcular ass . an=a+(n-1)r as=8+(15-1)4 as =8+ (14)4 ass =8+56 ais = 64 + n n 2 -(BréMIs o J215 DADE em 15 15º 15" 15º Logo soma dos 15 temos é 540. 2. Sendo a, = 0 er = 2, calcule a soma dos 16 primeiros termos dessa P.A. a=0 r=2 Si =? aç=? an=a+(n-1r as =0+(16-1)2 ai = 0 + (15)2 as =0+30 ais = 30 — (0+30)16 sc BNIO Go SED >40 16 2 16 2 155 16 Logo a soma dos 16 termos é 240. Progressões Geométricas (P.G Progressões Geométricas (P.G) é uma segiiência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (Chamada razão). Exemplos: Sendo a, = 3 ea razão (q) = 2, então: a=a.q a=3,2= aq=a.q a =6,2=12 aa=as.q a =12.2=24 as=a,.q a=24.2=48 Assim, a P.G será (6, 12, 24, 48,....) Sendo a; = 54 eq = 1/3, então: aa=a.q a=54.1/3=18 ay=a.q a =18.1/3=6 aa=as.q a =6.1/3=2 às + as .q a=2.1/3=1/3 ani. q (Representa um termo qualquer da P.G) desim, a P.g será (18,6,2,1/3,....) Fórmula do Termo Geral da P.G an=a.q'! an ai representa o termo procurado. representa o primeiro termo da P.G Polícia Rodoviária Federal Matemática para Concursos q = representa a razão da P.G n = representa o número de termos. Exemplos: 1. Calcule o sétimo termo da P.G (5, 10, 20,....) a=?a=5 q=10:5=2 n=7 an=a.q! a=5.2"1 a =5.2º a =5.64 a; = 320 Logo o sétimo termo da P.G é 320. 2. Calcule a razão de uma P.G, sabendo-se que a; = 405 e a; = 5. as=405 a=5n=5 q=? as=a.qr! q = 3 (calculamos a raiz quarta de 81 que é 3) Logo a razão da P.G é 3. Propriedades 1a) Se três números quaisquer x, y, Z são termos consecutivos de uma P.G, então o termo central é média geométrica dos outros dois. Temos: y? =x. z (média geométrica) Exemplo: 3,6, 12 são três números consecutivos de uma P.G então: 6º=3.12logo 36 = 36 2a) Numa P.G finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos termos extremos. Exemplo: Sendo a P,G finita (1, 2, 4, E, 16, 32) LI extremo equidistantes extremo 4.8=2.16=1.32=32 Observe a aplicação: Calcule o valor de x tal que x - 3, x, x + 6, nessa orem, sejam três números em P.G. x2=(x-3)Xx+6) x2=x2+6x-3x-18 x2=x2+3x-18 x2-x2-3x=-18 -3x=-18(-1) 3x = 18 x = 18/3 x=6 Fórmula da Soma dos Termos da P.G Finita Devemos observar dois casos: Se qx1 usamos: = nara Sc hn q-1 Seq=i,entãoa=aj=a;=..... = an Polícia Rodoviária Federal 66 Matemática para Concursos Noções de trigonomet Trigonometria no Triângulo Retângulo A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda a relação entre as mediadas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Conta a história da matemática que Tales foi um grande estudioso desse ramo da matemática, mas não podemos afirmar que este foi seu inventor. A trigonometria não foi obra de um só homem, nem de um povo só. Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c são os catetos do triângulo retângulo(catetos são os lado que formam o ângulo de 90º) Cateto oposto é aquele que esta de frente para o ângulo y hipotenusa cateto Cateto adjacente é aquele que forma o ângulo y com a hipotenusa. cateto € Lembre-se, os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo. Seno: cateto oposto b senodey= ""——[""— ou senoy=— hipotenusa a Cosseno: . cateto adjacente c cosseno dey="""— ou cosy=— hipotenusa a Tangente: tansente dey= cateto oposto te v= b 8 y cateto adjacente 8% c Cotangente: . cateto adjacente cotangente de y = ucolgy=— cateto oposto Polícia Rodoviária Federal Matemática para Concursos Teorema de Pitágoras O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Exemplos: Calcule o valor de x nas seguintes figuras: a) b) q 15 3 x 12 4 152 2122 ué u2 = 42 + a? 2 eoL=144+% “e =l168+9 2 2 -n 0 =144-225 uC =25 xº-e1 n=v25 n=5 c) Polícia Rodoviária Federal 70 Matemática para Concursos ter = (uy +44? á nx+2 x mus l6=n" pan dr nº +82+16-xº qu qn? “up qu 4 12=0 é s=(82 4102) &=16+ 48 & = 64 -(9)2 64 a(-1) = 48 q n=-2 e x =6 Como não existe medida negativo x=6 Funções exponenci Chamamos de função exponencial qualquer função de R em R (números reais), definida por f(x) = a*, onde a É R', (a é um número real positivo) ea 41. Exemplos: f(x) = 6" (a=6); f(x)=(1/2)2(a=1/2), f(x) =9% (a=9) Gráfico da Função Exponencial Função Crescente (a > 1) Função Decrescente (0 <a <1) am y v E Ed x x Observe que a função exponencial é crescente quando a for um número maior que 1. Observe que a função exponencial é decrescente quando a for um número maior que O e menor que 1. Equações Exponenciais Denominamos equações exponenciais as equações em que a incógnita (variável) se encontra no expoente. Polícia Rodoviária Federal n Matemática para Concursos Exemplos: 6+5=62 2+3=8 3* = Jor Resolvendo Equações Exponenciais a 9*+3 = 9 (observe que as bases são iguais) x +3 = 1 (igualamos os expoentes) x=1-3 x=-2 S=(-2) b) 2* = 16 (devemos fatorar o número 16) 7=2 x = 4 (igualamos os expoentes) S=(4) c) 5* = 1/25 (devemos fatorar o número 25) 5” = 1/5? (devemos inverter a fração) 5* = 52 (quando invertemos o expoente fica negativo) x =- 2 (igualamos os expoentes) S=(-2) d) 2 qxO+Tx+l? q x2eTx+12 24) 3 =3 (1 é igual a 3 elevado a 0) x2+ 7x + 12 = O (igualamos os expoentes) x,1=3 ex, = 4 (resultado da equação do 2º grau) S=(3;4 e) 9% - 487 (devemos fatoraro O e 273 Bus * “ isão de frações) enfus rafm|r cd 1 x> 2 * “ »* " Blu S = (3/10) d) 9 - 12.3* + 27 = O (vamos fatorar o 9) 3%. 12,3*+27=0 Polícia Rodoviária Federal 72 Matemática para Concursos Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=ax" +anax!+anzx2+..+ax? + ax+ ao. Onde: an, an-1, àn-2, --., à2, à1, do SãO números reais chamados coeficientes. ne IN xe C(n* complexos) é a variável. GRAU DE UM POLINÔMIO Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente anz0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos: a) P(x)=5 ou P(x)=5.xº é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0. b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1. c) P(x)=4x*+7x* é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5. Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio. e Valor numérico O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo: Se P(x)=x?+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x +2x2+x-4 P(2)= 22+2.22+2-4 P(2)= 14 Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)=x?-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio. Alguns exercícios resolvidos 1º) Sabendo-se que -3 é raiz de P(x)=x)+4x?-ax+1, calcular o valor de a. Resolução: Se -3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => (-3))+4(-3)-a.(-3)+1 = 0 3a =-10 => a=-10/3 Resposta: a=-10/3 2º) Calcular m e IR para que o polinômio PO)=(m2-1)+(m+1)x2-x+4 seja: a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau Resposta: a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x? e x? devem ser diferentes de zero. Então: m2-150 => mi => mal m+1z0 => m=-1 Portanto, o polinômio é do 3º grau se mz1 e mz-1. b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de xº deve ser igual a zero e o coeficiente de x? diferente de zero. Então: m2-1=0 => m?=1 => m=t1 m+1z0 => m=-1 Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1. c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x? e x? devem ser iguais a zero. Então: Polícia Rodoviária Federal 75 Matemática para Concursos Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1. 3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x) é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1). Resolução: Temos o polinômio: P(x)=x?+ax2+bx-+c. Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema: P(1)=0 => (1)+a(1)+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1 P(2)=0 => (2)'+a.(2)+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8 P(3)=30 => (3)'+a.(3)+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3 Temos um sistema de três variáveis: a+b+c=-1 4a +2b+c=-8 9a+3b+c=3 Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: a=9, b=-34, c=24 Portanto o polinômio em questão é P(x)= x)+9x2-34x+24. O problema pede P(-1): P(-1)= (1)+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24 P(-1)= 66 Resposta: P(-1)= 66 e Polinômios iguais Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)=B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x?-2x+1 = a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1). Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos: x2-2x+1 = ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 1x2-2x+1 = (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c) Agora igualamos os coeficientes correspondentes: a+b=1 a+b+c=-2 a+c=1 Substituindo a 13 equação na 22: l+c=-2 => c=-3. Colocando esse valor de c na 32 equação, temos: a-3=1 => a=4. Colocando esse valor de a na 1a equação, temos: 4+b=1 => b=03. Resposta: a=4, b=-3 e c=-3. Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos. Polícia Rodoviária Federal 76 Matemática para Concursos e Divisão de polinômios Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo: 12) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 22) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 Pt) | Dt) R(s) OG) Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão. Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Se D(x) é divisor de Exemplo: Determinar o quociente de P(x)=x!+xº-7x?+9x-1 por D(x)=x?+3x-2. Resolução: Aplicando o método da chave, temos: x 4xº-7x)4+9x-1 x) +3x—2 =x! -3x) + 2x) x -2x+1 > O() -2x) 5x] 4+9x-1 +2x)+6x? — 4x x) +5x—1 =x) -3x+2 2x+1 > R(x) Verificamos que: x+x)-7x) 49x] = (x24+3x-2)(x? -2x+1)+ (2x +41) PG DO 9 RO e Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x?-2x+3 por D(x)=2x-1. Utilizando o método da chave temos: 4x) -2x+3 2x-1 - 42 +2x 2x a “Polícia Rodoviária Federal 77 Matemática para Concursos Resolução: RAIZDODIVISOR COEFICIENTES DE P(x) + 2 [3 -5 1 | -2 [+ 3(0)-5 10Q)+1 | 3(29)-2 [3 1 3 [4 20õ10[õ[õ[õo COEFICIENTES DO QUOCIENTE Q(x) RESTO Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. Resposta: Q(x)=3x?+x+3 e R(x)=4. Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos: 1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”. 2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo. 3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste. 4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente. 50) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente. e Decomposição de um polinômio em fatores Vamos analisar dois casos: 1º caso: O polinômio é do 2º grau. De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax?+bx+c que admite as raízes r; e r> pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma: ax+bx+e = a(x-ry)(x-r,) Exemplos: 1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4. Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r=2 e n=-2. Logo: x2-4 = (x-2)(x+2). 2) Fatorar o polinômio P(x)=x?-7x+10. Resolução: Fazendo xº-7x+10=0, obtemos as raízes r,=5 e ,=2. Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2). 2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3. Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também. Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x?-x2-x. Resolução: 2x)-x2-x = x.(2x2-x-1) > colocando x em evidência Fazendo x.(2x2-x-1) = O obtemos: x=0 ou 2x?-x-1=0. Uma das raízes já encontramos (x=0). As outras duas saem da equação: 2xº-x-1=0 => rn=1 e r,=-1/2. Portanto, o polinômio 2x?-x2-x, na forma fatorada é: Polícia Rodoviária Federal so Matemática para Concursos 2X (x-1)(x+(1/2)). Generalizando, se o polinômio P(x)=anx"+anx"!+...+a;x+ao admite n raízes rn, F2,..., In podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma: an tan ae. +asxtao= An(X-Py(X-Io)...(X-In) Observações: 1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc. 2) Uma raiz r; do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r;)? e não por (x-r;?. Geometria O nome Geometria em grego, significa medida da terra. (geo = terra; metria = medida) No antigo Egito, a geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usava-na para medir terrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. As famosas pirâmides, construídas próximas ao rio Nilo, são um ótimo exemplo disso O Egípcios ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em busca de novas aplicações na geometria. Por volta de 600 a.C, os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimentos geométrico que foram adquirindo, fazendo com que a Geometria deixasse de ser puramente experimental. Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito principalmente pelo matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C, e reunido numa obra de 13 volumes, chamada os Elementos. Toda a geometria que estudamos hoje é praticamente a mesma daquela época. Ponto, Reta e Plano Ponto, reta e plano não são definidos. Temos a idéia intuitiva de ponto (quando olhamos uma estrela no céu, localizamos uma cidade no mapa etc...), de reta (observando as linhas do campo de futebol, de uma quadra de futsal os fios da rede elétrica bem esticado etc...), de plano (observando o piso de sua casa, o campo de futebol a superfície de uma piscina etc...). Se observarmos bem a nossa volta, vamos nos deparar com estes a todo momento. Ponto: Não possui dimensões. Representamos o ponto por uma letra maiúscula do alfabeto latino. Exemplos: A .F IL Ponta A Ponto F Ponto L Reta: A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim. Representamos a reta por uma letra minúscula do alfabeto latino, quando desenhamos uma reta no caderno ou quadro, estamos representado parte da reta. Exemplos: Polícia Rodoviária Federal 81 Matemática para Concursos A r B p Retar Reta P OpentoA petencearetar OpontoBpertencearetap f D Reta f OpentoD pertenceareta f Plano: O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado sem limites em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representarmos o plano no papel ou quadro. Por isso representamos parte deste. Representamos o plano por uma letra do alfabeto grego. Como alfa(a), beta (b) e gama (9). Exemplos: Hano alfa Observe: É pe «, À pertence ao plano alfa. ; fc e, Areta Ff está contida no plano alfa. i BE «, Bnão pertence ao plano alfa. tZa, Aretat não está contida no plano alfa. t Devemos lembrar que, usamos pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto, está contido e não está contido para relacionar conjunto com conjunto. Vale lembrar que ponto é elemento, reta e plano são conjuntos. Segmento de Reta Dados dois pontos distintos(diferentes), a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta. Exemplo: AH é um segmento de reta, sendo À e H as extremidades A H É deste seguimento. Representamos assim AH Polícia Rodoviária Federal s2 Matemática para Concursos P(Pn/E; eE,e...E-1) é a probabilidade de ocorrer E,, condicionada ao fato de já ter ocorrido Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos: A: branca na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: preta na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 Eventos independentes Dizemos que E; e E, e ...E,.1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: P(EeEBeEe..eE-1eE,)= P(E;).P(E>).p(Es)...P(E,) Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta? Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada “e 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na uma. Probabilidade de ocorrer a união de eventos Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos: P(E; ou E>) = P(E;) + P(E>).P(E; e E) De fato, se existirem elementos comuns a E; e E>, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E;) e P(E,). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E; e E,). Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos: P(Ei ou E, ou E; ou... ou E) = P(E;) + P(E;) +... + P(E,) Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e3 no branco? Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 - 1/36 = 11/36 Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Polícia Rodoviária Federal 85 Matemática para Concursos Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair8e P(A) = 8/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 - O = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. Noções de estatisticas Objeto da estatística Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido. População e amostra Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente tería-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos. A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra. Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam- se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra. Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas. Recenseamento Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte modo: Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo. Polícia Rodoviária Federal 86 Matemática para Concursos Estatística descritiva e estatística indutiva Sondagem Por vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o número de elementos da população é muito elevado, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudar uma ou mais características particulares dessa população. Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como: Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar atitudes, hábitos e preferências da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de interesse comum. Amostragem Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos que através de cálculos probabilísticos ou não, consigam prover dados inferenciais da população-alvo. Não Probabilística Acidental ou conveniência intencional Quotas ou proporcional Desproporcional Probabilística Aleatória Simples Aleatória Estratificada Conglomerado Tipos de Amostragem Não Probabilística A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagem frente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção por este método. Fonseca (1996), alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos na amostra para o todo da população quando se opta por este método de amostragem. Acidental ou conveniência Indicada para estudos exploratórios. Frequentemente utilizados em super mercados para testar produtos. Intencional O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por exemplo, quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas oficinas. Quotas ou proporcional Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter um prévio conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistar apenas indivíduos da classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para o trabalho. Comumente também substratifica-se uma quota obedecendo a uma segunda proporcionalidade. Desproporcional Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. Atribui-se pesos para os dados, e assim obtém-se resultados ponderados representativos para o estudo. Probabilística Para que se possa realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe com amostragem probabilística. É o método que garante segurança quando investiga-se alguma Polícia Rodoviária Federal 87 Matemática para Concursos Distribuições simétricas A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média Caso especial de uma distribuição simétrica Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino. Distribuições Assimétricas A distribuição das frequências apresenta valores menores num dos lados: Win af enviesada para a dieita enviesada para a esquerda Distribuições com "caudas" longas Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição. Medidas de tendência Central As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância. Medidas Média aritmética FAX, n Polícia Rodoviária Federal 90 Matemática para Concursos Média aritmética para dados agrupados Média aritmética ponderada Pi (X+P, (Ao) P tara Mediana 1) Sen é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais Moda Valor que ocorre com mais frequência. Média geométrica G=[ 5 Média harmônica no 1 1% ki Quartil g- bloud- 023 inefoos- pn LÊ in) Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados. Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do centro, é a média. Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais frequência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média). A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte: se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero. A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações: Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média. Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida. Moda Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana. Mediana A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: Polícia Rodoviária Federal 91 Matemática para Concursos Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios. Considerações a respeito de Média e Mediana Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n,...,Xnin então uma expressão para o cálculo da mediana será: Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados. 1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana. A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana 2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que a mediana 3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à mediana. Medidas de dispersão Introdução No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através das seguintes medidas: Medidas de dispersão Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra. Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir. Variância Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um. q ll — média )* n-1 ql média) 4 n- Polícia Rodoviária Federal 92