Algebra Linear Apostila Turma Estatística CM005 UFPR, Notas de estudo de Estatística

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CM 005-Álgebra Linear Turma: Estat́ıstica notas de aula Alexandre Faria 2osem./2006 Sumário 0.1 Mini-prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Sistemas Lineares e Matrizes 4 1.1 Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Expressão matricial de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Escalonamento de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Discutindo as soluções de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Das soluções de um sistema linear à idéia de espaço vetorial 14 2.1 Das soluções de um sistema linear homogêneo à idéia de subespaço vetorial . . . . . 15 2.2 Estruturas algébricas: uma idéia geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Retornando aos sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Da idéia de combinação linear à idéia de conjunto gerador e base . . . . . . . 23 2.3.2 Geradores e base: dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Transformações Lineares 43 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Exemplos de transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1 Propriedades das transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.2 O núcleo e a imagem de uma transformação linear: subespaços vetoriais . . . 49 3.3 Matrizes de transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.1 Transformações lineares e mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.2 Diagonalização de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.3 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 A Fatoração e ráızes de um polinômios 67 1 Caṕıtulo 1 Sistemas Lineares e Matrizes 1.1 Equações lineares Sejam a e b constantes arbitrárias pertencentes ao conjunto dos números reais R, com a 6= 0 . A equação ax + b = 0 é linear e sua solução é x = −ba ∈ R. Geometricamente, R pode ser interpretado como a reta real e a solução da equação como sendo um ponto da reta. Observação 1.1.1 A expressão x = −ba pode ter significados diferentes dependendo dos valores que tomamos para a e b, assim: a. Se a 6= 0 então a equação tem solução única; b. Se a = 0 e b = 0 então a expressão fica 0x = 0, logo a equação tem infinitas soluções, qualquer valor de x torna a igualdade verdadeira; c. Se a = 0 e b 6= 0 então a equação fica 0x = b, e como não existe nenhum número real que multiplicado por zero seja diferente de zero, então neste caso não existe solução para equação. Sejam a, b e c constantes arbitrárias pertencentes ao conjunto dos números reais R, com a 6= 0 e b 6= 0. A equação em duas incógnitas ax + by + c = 0 é linear e seu conjunto solução é formados por pares ordenados (x, y) tais que x, y ∈ R. Geometricamente, (x, y) ∈ R2, plano real, e o conjunto solução da equação é dado por uma reta no plano. Sejam a, b, c e d constantes arbitrárias pertencentes ao conjunto dos números reais R, com a 6= 0, b 6= 0 e c 6= 0. A equação em três incógnitas ax + by + cz + d = 0 é linear e seu conjunto solução é formados por ternos ordenados (x, y, z) tais que x, y, z ∈ R. Geometricamente, (x, y, z) ∈ R3, espaço real, e o conjunto solução da equação é dado por um plano no espaço. 4 1.2 Sistemas de equações lineares Uma equação linear pode ser pensada como um sistema que contém apenas uma equação:{ ax + b = 0 , ou ainda, { ax + by = c , mas isso nos levaria aos casos anteriores. Da mesma forma o sistema com duas equações a seguir{ ax + b = 0 cy + d = 0 , nos levaria a equação ax + by + (c + d) = 0, já interpretada anteriormente. Por outro lado, um sistema de equações lineares de duas equações com duas incógnitas{ ax + by = c dx + ey = f tem uma nova interpretação e resolver esse sistema significa achar os pares ordenados (x, y) que satisfazem simultaneamente as duas equações do sistema. Geometricamente, o sistema apresenta duas equações que podem ser representadas por duas retas pertecentes ao plano real, e a resolução do sistema apresenta três casos, segundo a intersecção dessas retas. Considerando as soluções gerais do sistema, obtidas pelos métodos de resolução da “adição”ou da “substituição”. No primeiro, multiplicamos convenientemente as duas equações de modo que ao somá-las uma das incógnitas “desapareça”, isolamos a outra incógnita num dos membros da equação resultante e substituimos esse valor numa das equações do sistema original, ou seja: { ax + by = c dx + ey = f → { (−1)(d)ax + (−1)(d)by = (−1)(d)c (a)dx + (a)ey = (a)f Desse último sistema obtenho aey − dby = = af − dc y(ae− db) = af − dc y = af − dc ae− db que, substituindo em uma das equações originais, fornece x = ce− bf ae− db . 5 No segundo método, da “substituição”, isolamos uma das incógnitas em uma das equações e substitúımos seu valor na outra equação, a qual se torna uma equação linear de uma variável, que já sabemos resolver, e cuja solução, substitúıda em qualquer uma das duas equações, fornece o valor da outra icógnita restante, assim: dx + ey = f y = f − dx e Substituindo esse valor na outra equação: ax + b( f − dx e ) = c ax + bf − bdx e = c eax + bf − bdx = ec eax− bdx = ec− bf x(ea− bd) = ec− bf x = ec− bf ea− bd que substituindo em uma das equações originais fornece y = af − cd ae− bd . De qualquer forma chegamos aos seguintes resultados: x = ce− bf ae− bd (1.2.1) e y = af − cd ae− bd (1.2.2) Na aplicação desses métodos são permitidas três operações elementares sobre as equações do sistema, tais que as soluções do sistema permaneçam inalteradas, são elas: a. Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero; b. Substituir uma das equações pela soma dela própria pela outra multiplicada por um número real diferente de zero; c. Trocar as equações de lugar. A expressão (ae− bd) é denotada pelo determinante ∆ = det ∣∣∣∣ a bd e ∣∣∣∣. Do mesmo modo denotamos as expressões (ce− bf)como ∆x = det ∣∣∣∣ c bf e ∣∣∣∣ e af − cd como ∆y = det ∣∣∣∣ a cd f ∣∣∣∣. Sendo assim,de modo análogo a observação 1.1.1 para o quociente que é a solução da equação linear com uma incógnita, podemos concluir, analisando as expressões (1) e (2), que: 6 Restituindo o sistema a partir desta última matriz, a matriz escalonada, temos o seguinte:  x + y + z = 4y + (−43 )z = −53 z = 11 . Este último já possibilitaria a resolução do sistema por substituição de z = 11 na segunda equação para encontrar o valor de y, e depois os valores de z e y na primeira equação para achar o valor de x. Assim, z = 11 ⇒ y = 13, e z = 11, y = 13 ⇒ x = −20. Pórem, continuando da última matriz estendida, podemos obter um sistema mais simples: Matrizes Operações 1 1 1 ... 4 0 1 43 ... 53 0 0 1 ... 11  4 ⇓ 1 1 0 ... −7 0 1 0 ... 13 0 0 1 ... 11  5 linha25 = (−−53 )(linha34)+(linha24); linha15 = (−1)(linha34)+(linha14) ⇓ 1 0 0 ... −20 0 1 0 ... 13 0 0 1 ... 11  6 linha16 = (−1)(linha25) + (linha15) Desta última obtemos o sistema  x = 4y = 13 z = 11 , cuja solução óbvia é x = −20, y = 13 e z = 11, ou seja, a terna ordenada (−20, 13, 11). Geometricamente, a solução é um ponto do espaço que é a intersecção dos planos π1 : x+y+z = 4, π2 : 2x + 5y − 2z = 3, π1 : x + 7y − 6z = 5, como é possivel visualizar na figura a seguir: 9 Figura 1.1: “Representação gráfica do sistema”1.2.3 1.2.3 Discutindo as soluções de um sistema linear Uma vez apresentado o algoritmo do escalonamento cabe ressaltar as vantagens desse método. Vale lembrar que os dois métodos anteriores nos levavam ao cálculo de um certo determinante, seja pelo método de Cramer, Sarrus ou de Laplace. Isso também nos restringia aos sistemas que dessem origem a matrizes quadradas, que, de qualquer forma, fica mais dif́ıcil o cálculo do seu determinante na medida em que sua ordem cresce. Por outro lado, como veremos, o escalonamento pode fornecer informações, assim como os outros métodos, sobre a existência das soluções de um sistema de qualquer ordem. Para tanto definimos os seguintes elementos acerca da matriz estendida de um sistema linear: Definição 1.2.1 Dada uma matriz Am×n,m linhas e n colunas, seja Bm×n a matriz escalonada equivalente a A: a. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não-nulas de B; b. A nulidade de A,é o número n− p, o qual também é chamado grau de liberdade do sistema associado a matriz. Com isso, se considerarmos o sistema geral de m equações lineares e n incógnitas x1, x2, . . . , xn, onde aij e b são números reais: 10  a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 ... ... . . . ... ... am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm Este sistema poderá ter: a. uma única solução, expressa pelo sistema x1 = k1 ... ... xn = kn , e nesse caso dizemos que o sistema é posśıvel e determinado; b. infinitas soluções, então o sistema é posśıvel e indeterminado; c. nenhuma solução, o sistema é imposśıvel. Considerando a matriz estendida desse sistema geral, Am×(n+1)=  a11 · · · a1n ... b1 ... . . . ... ... ... am1 · · · amn ... bm  m×(n+1) . , e onde a matriz dos coeficientes é Cm×n=  a11 · · · a1n... . . . ... am1 · · · amn  m×n . e seja a matriz Bm×(n+1) escalonada equivalente a Am×(n+1) Bm×(n+1)=  c11 · · · c1n ... d1 ... . . . ... ... ... cp1 · · · cpn ... dp 0 · · · 0 ... dp+1 ... . . . ... ... ... 0 · · · 0 ... dm  m×(n+1) . , do anterior podemos afirmar sobre as soluções do sistema o o seguinte Teorema 1.2.1 Um sistema de m equações e n incógnitas a. admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada Am×(n+1) é igual ao posto da matriz dos coeficientes Cm×n; 11 Caṕıtulo 2 Das soluções de um sistema linear à idéia de espaço vetorial Como introdução ao curso de álgebra linear, começamos estudando a resolução de equações lineares, e depois, a resolução de sistemas lineares. Vimos que ao resolver um sistema podemos chegar a um dos três resultados: a. O sistema não tem solução; b. O sistema tem solução única; c. O sistema tem infinitas soluções. Conforme o caso, se o sistema for posśıvel então uma solução particular, seja única ou seja uma dentre as infinitas, é sempre uma combinação linear de uma, ou mais soluções. Pensemos no exemplo a seguir: { x + y + 2z = −1 x− 2y + z = −5 O conjunto S das soluções desse sistema, que é posśıvel e indeterminado, é um subconjunto do R3. O conjunto R3 pode ser representado geometricamente como o conjunto de todos os pontos do espaço e o conjunto S pode ser representado como uma reta do plano. De fato, cada equação do sistema pode ser representada geometricamente, num sistema cartesiano de três eixos ortogonais, como uma equação de um plano, logo resolver o sistema acima significa achar os números x, y e z ∈ R que satisfazem simultaneamente as duas equações, o que por sua vez, geometricamente, significa achar a intersecção dos dois planos. Assim, cada solução do sistema pertence a um conjunto S ⊂ R3 cujos elementos podem ser expressos de forma genérica como (x, y, z) = (−9, 0, 4) + λ(5, 1,−3), ou seja, S = {(x, y, z) ∈ R3|x = −9 + 5λ, y = λ e z = 4− 3λ; λ ∈ R}. A questão que surge é a seguinte: existe uma forma mais simples do que aquela acima para descrever a solução do sistema? Ora, sabemos que os elementos de R3, chamados vetores, podem sempre ser escritos como uma soma de múltiplos, ou uma combinação linear, de vetores bem simples. Por exemplo, qualquer vetor do R3 pode ser escrito como combinação linear do seguinte conjunto 14 de vetores G = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, com isso dizemos que todos os vetores do espaço são gerados pelo conjunto G, neste caso especial, como veremos mais terde, dizemos que o conjunto G é uma base do R3 . Ou seja, com as operações de “soma de vetores”e “produto por um escalar real”conseguimos escrever todos os vetores do espaço. Ao conjunto R3, com essas duas operações definidas sobre seus elementos, denominamos espaço vetorial. Então, refazendo a questão: será que essa solução que achamos não pode ser decomposta como múltiplos de parcelas, as quais então não podem ser mais decompostas, sendo então, por isso, as mais simples posśıveis? Analisando a solução geral do nosso sistema vemos que não conseguimos escrever qualquer solução do sistema como múltiplos, ou combinações lineares, de soluções. No caso de (x, y, z) = (−9, 0, 4)+λ(5, 1,−3), basta notar que o ponto (-9,0,4) já está fixado, tome duas soluções quaisquer do sistema some e veja se ela é solução do sistema. Isso quer dizer que esse con- junto solução, que é subconjunto de R3, não tem as mesmas propriedades algébricas que o próprio R3. Por exemplo, se somarmos duas soluções particulares e diferentes do sistema o resultado não será uma solução do sistema, e o mesmo acontecerá se multiplicarmos uma solução particular por um número real. Dessa constatação, surge uma nova questão. Será que algum conjunto de soluções de algum sistema linear com três incógnitas terá as mesmas propriedades algébricas que R3? 2.1 Das soluções de um sistema linear homogêneo à idéia de subespaço vetorial É posśıvel provar que Proposição 2.1.1 Todos conjuntos que são soluções de um sistema linear homogêneo são subcon- juntos de um espaço vetorial que possuem as mesmas propriedades algébricas que o espaço vetorial, logo são subespaços vetoriais. Vejamos um exemplo, e depois passamos a prova geral Vamos pensar no seguinte sistema homogêneo:{ x + y + 2z = 0 x− 2y + z = 0 As soluções do sistema são elementos do conjunto T = {(x, y, z) ∈ R3|x = −5λ/3, y = −λ/3, z = λ;λ ∈ R}, logo uma solução geral é (x, y, z) = λ(−5/3,−1/3, 1). Uma solução, por exemplo, é a(−5/3,−1/3, 1) e outra solução é b(−5/3,−1/3, 1). Somando as duas temos: (a+b)(−5/3,−1/3, 1) ∈ T; do mesmo modo, multiplicando uma solução a(−5/3,−1/3, 1) por um número real c o produto é ca(−5/3,−1/3, 1) ∈ T. Assim, qualquer solução desse sistema é alguma combinação linear de outras duas soluções quaisquer, isto quer dizer que a soma de duas soluções é uma solução e, da mesma forma, o produto de uma solução qualquer por um número real qualquer também é uma solução. Passamos a prova da Proposição2.1.1. Observe que nesta prova usaremos algumas propriedades algébricas relativas a soma e produto entre matrizes tanto em (2.1.1) quanto em (2.1.2), veja abaixo. E também, vamos identificar um vetor coluna com um conjunto de n-úplas ordenadas, isto é, 15 v =  v1 v2 ... vn  e v = (v1, v2, . . . , vn) denotam o mesmo objeto, escritos de formas diferentes. De forma geral, um sistema linear homogêneo pode ser escrito como uma equação matricial da forma [A][X] = [0], onde [A] é a matriz dos coeficientes das incógnitas do sitema, [X] é a matriz- coluna das incógnitas, e [0] é a matriz dos termos independentes. Se um vetor v = (v1, v2, . . . , vn), escrito na forma de vetor-coluna [v] é solução do sistema, então nessa equação matricial substitúımos [X] por [v] e a igualdade é verdadeira. Se v e u são soluções então a soma v + u é uma solução pois: [A][u + v] = [A][u] + [A][v] = [0] + [0] = [0]; (2.1.1) da mesma forma se v é solução então λv é uma solução pois: [A][λv] = λ([A][u]) = λ[0] = [0]. (2.1.2) De tudo que foi dito até aqui, procuramos as soluções dos sistemas lineares em conjuntos os quais denominamos espaços vetoriais. Em particular falamos do R3 que identificamos com os pontos do espaço. Entretanto, os procedimentos realizados até agora teriam a mesma validade caso trocássemos R3 pelo conjunto das funções definidas num intervalo I ⊂ R e com valores em R, isto é, F = {f ∈ F| f(x) = y;∀x ∈ I e y ∈ R}; ou, pelo conjunto dos polinômios Pn com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n fixo, n ∈ Z+, ou seja, Pn = {a0 +a1x+a2x2 + . . .+anxn| ai ∈ R}. De fato, todos esses conjuntos são espaços vetoriais, isto é, todos esses conjuntos tem as mesmas propriedades algébricas, ou, dito de outro modo, todos tem a mesma estrutura algébrica. Mas, o que são estruturas algébricas? 2.2 Estruturas algébricas: uma idéia geral A partir do século XIX, a matemática passou por uma grande ruptura. As pesquisas feitas até então tinham um caráter bastante aplicado, porém durante esse século os matemáticos passaram a se dirigir cada vez mais no sentido da abstração. Uma das caracteŕısticas dessa abstração se consistiu numa preocupação cada vez maior, não com os objetos em si mesmo, mas com as relações entre os objetos. Não importava tanto a “existência real” do objeto, mas a “existência matemática” dentro de uma teoria logicamente consistente. A mudança de postura com relação as pesquisas decorreu da verificação que era posśıvel tratar vários objetos de forma unificada a partir das propriedades operatórias desses objetos. Ou seja, não importava perguntar o que era um número, mas quais operações eram posśıveis realizar com esse número e quais propriedades ele satisfazia. De fato, foram essas propriedades que se tornaram um novo objeto de estudo. Assim, ao longo do tempo, ocorreu a sistematização desses objetos através das estruturas algébricas. Para entender o significado de estrutura algébrica vamos apresentar as principais estruturas algébricas que aparecem na matemática. A idéia é que tenhamos apenas um breve contato com outras estruturas, além da estrutura de espaço vetorial. Nosso objetivo é perceber as semelhanças e diferenças entre elas e, mais importante, a forma de pensar uma estrutura algébrica. Para que possamos fazer uma comparação 16 Exemplos de subgrupos Exemplos 2.2.7 No grupo aditivo dos números reais, (R,+), o conjunto dos números inteiros Z é um subgrupo de R. Exemplos 2.2.8 No grupo multiplicativo dos números reais, sem o zero, (R∗,×), o conjunto H = {x ∈ R|x > 0} é um subgrupo de R∗ 2.2.2 Anéis Definição 2.2.4 Um anel (A,⊕, ⊗) é um conjunto A munido de duas regras “ ⊕ ”e “ ⊗ ”tais que a cada par de elementos x,y ∈ A associam um elemento de A, denotado por x ⊕ y e x ⊗ y, respectivamente: ⊕ : A⊗A → A (x, y) 7→ (x⊕ y) ⊗ : A⊗A → A (x, y) 7→ (x⊗ y) Com isso, dizemos que um anel é fechado em relação a x⊕ y e x⊗ y. Axiomas 2.2.2 Sejam x, y e z ∈ A, o conjunto A é um grupo abeliano em relação a “ ⊕ ”: A1⊕ (∀x, y, z ∈ A)(x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ z) A2⊕ (∀x, y ∈ A)(x⊕ y = y ⊕ x) A3⊕ (∀x ∈ A)(∃ 0A ∈ A, tal que x⊕ 0A = 0A ⊕ x = x) A4⊕ (∀x ∈ A)(∃ y = (−x) ∈ A, tal que x⊕ (−x) = (−x)⊕ x = 0A) Um anel A em relação a operação “ ⊗ ”satisfaz o seguinte axioma: A5⊗ (∀x, y, z ∈ A)(x⊗ (y ⊗ z) = (x⊗ y)⊗ z); então o anel é um anel associativo. Um anel pode satisfazer algum, ou ambos, dos axiomas abaixo, nesse caso se: A6⊗ (∀x ∈ A)(∃ 1A ∈ A, tal que x⊗ 1A = 1A ⊗ x = x); então o anel é um anel com unidade. A7⊗ (∀x, y ∈ A)(x⊗ y = y ⊗ x); então o anel é um anel comutativo. Além disso, em um anel qualquer a operação “⊗ ” é distributiva em relação a operação “⊕ ”: A8 (∀x, y, z ∈ A)(x⊗ (y ⊕ z) = (x⊗ y)⊕ (x⊗ z)) Propriedades 2.2.2 Dos axiomas de anel enumerados acima, podemos deduzir imediatamente as seguintes propriedades: a. Quanto a operação “⊕ ”, o anel A é um grupo comutativo; então valem as propriedades 3.1 já enunciadas para grupos. b. O elemento neutro para o produto, se existir, é único. 19 Exemplos de anéis: Exemplos 2.2.9 O conjunto Z dos números inteiros com a soma e o produto usuais é um anel. Exemplos 2.2.10 O conjunto das matrizes quadradas de ordem n, com n fixo, Mn×n(R), cujas entradas são números reais, com a soma e produto usuais de matrizes é um anel não comutativo. Exemplos 2.2.11 O conjunto dos pontos do espaço R3, com a soma definida pela soma coordenada a coordenada, e o produto definido pelo produto coordenada a coordenada é um anel. Observação 2.2.2 Exemplos de conjuntos munidos com duas operações que não são anéis: a. O conjunto dos inteiros não positivos, Z− = {0,−1,−2, . . .}, com a soma e produto usuais não é um anel, pois não vale o fechamento em relação ao produto. b. O conjunto dos inteiros não negativos, Z+ = {0, 1, 2, . . .}, com a soma e produtos usuais não é um anel, pois dado um elemento qualquer do conjunto não existe o simétrico aditivo. Subanéis Definição 2.2.5 Seja (A,⊕,⊗) um anel. Um subconjunto não vazio L ⊂ A é um subanel de A se, e somente se, a. L é fechado para ambas operações de A, isto é, (∀ a, b)(a, b ∈ L ⊂ A ⇒ (a ⊕ b) ∈ L e (a⊗ b) ∈ L. b. (L,⊕,⊗) é um anel. Isto quer dizer que L, com as leis de composição de A restritas a L, satisfaz os axiomas de anel. Exemplos de subanéis: Exemplos 2.2.12 O conjunto 2Z dos números pares positivos, com o zero, ou seja, 2Z = {0, 2, 4, . . .}, é um subanel de Z. O subanel 2Z é um anel sem unidade. Exemplos 2.2.13 O conjunto B = {a + b √ 2| a, b ∈ Z} é um subanel de R. Exemplos 2.2.14 O conjunto da matrizes quadradas de ordem n, Mn×n(Z) é um subanel do anel Mn×n(R). Corpos Observação 2.2.3 Se em um anel A com unidade existir o simétrico multiplicativo para todo elemento não nulo, então o anel recebe o nome de corpo. De fato, um corpo é um grupo abeliano para ambas as operações “soma”e “produto”. São exemplos de corpos, dentre outros, o conjunto Q dos números racionais, o conjunto R dos números reais, o conjunto C dos números complexos. 20 2.2.3 Espaços Vetoriais Definição 2.2.6 Um espaço vetorial (V,+, ·), sobre um corpo K, é um conjunto V, cujos ele- mentos chamaremos vetores, munido de duas regras “ + ”e “ · ” tais que a cada par de elementos u, v ∈ V e λ ∈ K associam um elemento de V, denotado por u + v e λ · v, respectivamente: + : V × V → V (u, v) 7→ (u + v) · : K× V → V (λ, v) 7→ (λ · v) Axiomas 2.2.3 Sejam u, v ew ∈ V, o conjunto V é um grupo abeliano em relação a “ + ”: V1+ (∀u, v, w ∈ A)(u + (v + w) = (u + v) + w) V2+ (∀u, v ∈ A)(u + v = v + u) V3+ (∀ v ∈ V)(∃ 0V ∈ V, tal que v + 0V = 0V + v = v) V4+ (∀ v ∈ A)(∃ v′ = (−v) ∈ A, tal que v + (−v) = (−v) + v = 0V ) Em relação a operação “ · ” o conjunto V satisfaz os seguinte axioma: V5· (∀ v ∈ V)(∀λ β ∈ K)(λ · (β · v) = (λ · β) · v); V6· (∀ v ∈ V)(∀λ β ∈ K)((λ + β) · v = λv + βv); V7· (∀u, v ∈ V)(∀λ ∈ K)(λ(u + v) = λu + λv); V8· (∀ v ∈ V)(1 · v = v, 1 ∈ K). Propriedades 2.2.3 Dos axiomas de espaço vetorial enumerados acima, podemos deduzir imedi- atamente as seguintes propriedades: a. Quanto a adição, A é um grupo comutativo; então valem as propriedades 3.1 já enunciadas para grupos. b. O elemento neutro para o produto, se existir, é único. c. Para todo vetor v ∈ V, se multiplicamos v pelo escalar 0 ∈ K o resultado é o vetor 0V ∈ V, ou seja, 0 · v = 0V , ∀v ∈ V. d. Para todo escalar λ ∈ K, se multiplicamos λ pelo vetor nulo 0V ∈ V o resultado é o vetor 0V ∈ V, ou seja, λ · 0V = 0V , ∀v ∈ V. e. Para todo escalar λ ∈ K, para todo vetor v ∈ V, se o produto λ · v = 0V , então λ = 0 ou v = 0. 21 Com esses dois exemplos podemos perceber que o subespaço das soluções de um sistema ho- mogêneo tem mais de uma base. No nosso exemplo, os conjuntos {(−5, 1,−3, 0), (1, 0, 0, 1)} e {(1, 0, 0,−1), (0,−1/3, 1,−5/3)} são bases de S. Mas, existem apenas esses dois conjuntos de ger- adores que formam uma base? Se não, quantos mais existem? Além disso, será que existem mais de dois vetores em cada base? Ou de modo geral, qual é o número máximo de vetores na base do subespaço vetorial das soluções de um sistema linear homogêneo? E num espaço qualquer? É o que vamos ver na próxima seção. Vamos estudar esses fatos com nosso sistema. Mas, lembramos: Toda base é um conjunto gerador, mas nem todo conjunto gerador é uma base. 2.3.2 Geradores e base: dependência e independência linear Existem diferenças fundamentais entre conjunto gerador e base que enunciaremos, sem prova, com três proposições, admitidas sem prova, sobre uma base de um espaço vetorial: Proposição 2.3.1 O número de elementos em qualquer base de um espaço vetorial é sempre o mesmo. Proposição 2.3.2 Um elemento da base nunca pode ser escrito como combinação linear de outros elementos da base. Proposição 2.3.3 Qualquer vetor do espaço gerado pela base só pode ser escrito nessa base de uma única forma. Este último nos diz que se ui, uj ∈ V, e um subconjunto de vetores de V, BV = {v1, v2, . . . , vn}, é uma base para V então ui e uj podem ser escrito como combinação linear dos vetores de B, ou seja: ui = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn, e uj = µ1v1 + µ2v2 + . . . + µnvn, e, neste caso, se ui = uj, então λ1 = µ1, λ2 = µ2, . . . , λn = µn. Observação 2.3.1 Podemos interpretar essa última proposição como um critério de igualdade entre os elementos escritos numa mesma base. De fato, se pensamos nas coordenadas de um certo vetor como sendo os coeficientes que multiplicam os vetores da base, então isto está de acordo com o que sabemos por exemplo entre igualdade entre pares ordenados. Uma base para o plano euclidiano que identificamos com o conjunto R2, pode ser o conjunto formado pelos pares ordenados B = (0, 1) (0, 1). Assim, sejam dois pares ordenados quaisquer, por exemplo, A = (a, b) e B = (c, d), podemos escrever A = a(1, 0) + b(0, 1) e B = c(1, 0) + d(0, 1). Nesse caso, A = B se, e somente se, a = c e b = d. Observação 2.3.2 Na observação anterior, os escalares a, b e c, d que multilplicam os vetores da base são denominados, respectivamente, coordenadas dos vetores (a, b) e (c, d) na base B. Dimensão O racioćınio a seguir nos dá a base da prova da Proposição 2.3.1. Lembrando a discussão das soluções de um sistema linear a partir da observação do posto e da nulidade (no de incógnitas - posto), vimos que a nulidade nos dizia qual o número de incógnitas livres podeŕıamos tomar para 24 escrever as outras variáveis em função destas. No nosso exemplo, o posto era 2, logo a nulidade era 4 − 2 = 2. Como dissemos, se por um lado, quanto ao número de elementos na base ficou claro que somente podeŕıamos ter dois elementos, por outro lado, num conjunto gerador a única restrição é que o número de elementos do conjunto seja finito. O número de elementos da base é um importante invariante de um espaço vetorial que recebe o nome de dimensão do espaço. O problema é que entre conjuntos com o mesmo número n de elementos, com n sendo a dimensão do espaço. Como saber se um desses conjuntos é uma base ou apenas um conjunto gerador. Num conjunto gerador qualquer, desde que não seja uma base, sempre é posśıvel escrever pelo menos um elemento do conjunto como combinação linear dos outros elementos do conjunto gerador. Neste caso, dizemos que os elementos do conjunto gerador formam um conjunto linearmente dependente, ou abreviado, LD. Dependência linear Proposição 2.3.4 Seja GV = {v1, v2, . . . , vi, . . . , vn}, um conjunto qualquer de vetores em um espaço vetorial qualquer V sobre o corpo K. Se algum vi é combinação linear dos outros vetores de GV , então é posśıvel escrever vi = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn, ou ainda, µ1v1 + µ2v2 + . . . + µivi + . . . + µnvn = 0, sem que todos os µ sejam nulos. Observação 2.3.3 Note que na proposição acima o conceito de dependência linear se aplica a um conjunto qualquer de vetores do espaço vetorial. Porém usaremos essa idéia na determinação de um conjunto gerador, pois, por definição, um conjunto de vetores em um espaço vetorial é um conjunto gerador se pudermos escrever qualquer vetor do espaço como combinação linear dos vetores do conjunto gerador. Vejamos o exemplo a seguir. Exemplos 2.3.1 Seja o conjunto G = {(1, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 1, 0)}, vamos verificar se G é um ger- ador para o espaço vetorial R3. Se um conjunto gera o espaço vetorial então podemos escrever qualquer elemento do espaço como combinação linear dos elementos desse conjunto. • Seja v = (a, b, c) um vetor genérico em R3, onde a, b e c são números reais quaisquer; • Temos que verificar se existem constantes α, β, γ tais que v = α(1, 2, 1)+β(1, 0, 2)+γ(1, 1, 0); • Essa última igualdade nos leva ao seguinte sistema linear: α + β + γ = a2α + γ = b α + 2β = c • Resolvendo o sistema chegamos a α = −2a+2b+c3 , β = a−b+c 3 , γ = 4a−2b−2c 3 Obtivemos assim uma solução para qualquer valor de a, b, c, logo G gera R3. Exemplos 2.3.2 Outro exemplo, seja o conjunto G = {(1, 2, 1), (1, 0, 2)}, vamos verificar se G é um gerador para o espaço vetorial R3. • Seja v = (a, b, c) um vetor genérico em R3, onde a, b e c são números reais quaisquer; 25 • Temos que verificar se existem constantes α, β, γ tais que v = (a, b, c) = α(1, 2, 1)+β(1, 0, 2); • Essa última igualdade nos leva ao seguinte sistema linear: α + β = a2α = b α + 2β = c • Escrevendo a matriz aumentada desse sistema e fazendo o escalonamento chegamos a 1 0 ... 2a− c 0 1 ... c− a 0 0 ... b− 4a + 2c , • Esse sistema não tem solução se b− 4a+2c 6= 0.Conclusão: existem infinitos vetores que não podem ser escritos como combinação linear de G, logo G não gera R3. Observação 2.3.4 Na solução do exerćıcio anterior podemos afirmar que o sistema tem solução apenas para vetores cujas coordenadas satisfaçam a equação b− 4a + 2c = 0. Mas a qual conjunto pertence esses vetores? Para responder essa questão basta resolver a equação b − 4a + 2c = 0. Podemos fazer isso como na resolução de um sistema linear. Em primeiro lugar esse sistema será homogêneo, logo o conjunto solução será um subespaço vetorial do R3. Como temos apenas uma equação com três incógnitas então o sistema tem grau de liberdade igual a dois, com isso posso escolher duas das incógnitas entre a, b, c e escrever a outra em função destas. Assim escrevo a = λ e c = µ, de onde b = 4λ − 2µ. Logo o vetor genérico (a, b, c) = (λ, 4λ − 2µ, µ), ou ainda, es- crevendo o segundo membro desta igualdade como soma de multiplos de vetores fico com o seguinte (a, b, c) = λ(1, 4, 0) + µ(0,−2, 1). Conclúımos que os vetores que satisfazem a equação b − 4a + 2c = 0 pertencem ao subespaço vetorial do R3 gerado pelo conjunto B = {(1, 4, 0), (0,−2, 1)}. Geometricamente este conjunto pode ser identificado como um plano que passa pela origem do espaço euclidiano. Por último, dizemos que o conjunto B = {(1, 4, 0), (0,−2, 1)} é na verdade uma base para o subespaço das soluções da equação b − 4a + 2c = 0. Do mesmo modo, G = {(1, 2, 1), (1, 0, 2)} também é uma base para o mesmo subespaço vetorial. Mas que relação existe entre os conjuntos B = {(1, 4, 0), (0,−2, 1)} e G = {(1, 2, 1), (1, 0, 2)} se ambos geram o mesmo subespaço? Isso nos leva a idéia de conjuntos linearmente independentes. Independência linear Os elementos de uma base não podem ser escritos como combinação linear dos outros elementos da base, isso se refere a Proposição2.3.2. Nesse caso, dizemos que os elementos da base formam um conjunto linearmente independente, ou abreviado, LI. Logo, a partir da proposição anterior enunciamos um importante corolário que nos fornece um critério para verificar a linearidade de um conjunto de vetores: 26  λ = 0 1/5λ− 1/5µ = 0 −3/5λ + 3/5µ = 0 µ = 0 Resolvendo o sistema encontramos que λ = 0 e µ = 0. Logo, a equação 2.3.5 só tem solução para λ e µ simultaneamente nulos. Com isso, pelo Corolário 2.3.1 os vetores de A são LI, de onde conclúımos que A é uma base para S. Agora vamos verificar se o conjunto B forma uma base para S. Realizamos o mesmo procedimento: Se B não for uma base então devemos ter λ(6, 1,−3, 1) + µ(18, 3,−9, 3) = (0, 0, 0, 0) (2.3.6) sem que λ e µ sejam simultaneamente iguais a zero. Mas, das propriedades algébricas relativas a espaço vetorial, podemos escrever a equação acima como (λ6 + 18µ, λ + 3µ,−3λ − 9µ, λ + 3µ) = (0, 0, 0, 0). Da igualdade entre quádruplas ordenadas montamos o seguinte sistema: 6λ + 18µ = 0 λ + 3µ = 0 −3λ− 9µ = 0 λ + 3µ = 0 Esse sistema é indeterminado, com solução geral (λ, µ) = α(−3, 1). Logo, a equação 2.3.6 tem não apenas uma, mas infinitas soluções não nulas para λ e µ. Com isso, pela Proposição 2.3.4 os vetores de B são LD, de onde conclúımos que B não é uma base para S. Em particular, num espaço com dimensão dois, dois vetores são LD se, e somente se, são múltiplos. Geometricamente, pensando no R2, que é um espaço de dimensão dois, isso significa que esses vetores são paralelos. Neste ponto, podeŕıamos pensar quantos vetores não paralelos, logo LI, existem no plano para que tenhamos uma base para o R2? Determinando bases para subespaços vetoriais a partir de conjuntos geradores Até aqui, sabemos identificar um conjunto gerador de um espaço vetorial, reconhecer quando conjunto de vetores de um espaço vetorial é L.I. ou L.D. e diferenciar um conjunto gerador de uma base de um espaço vetorial. Agora vamos analisar um conjunto de vetores que geram um subespaço vetorial procurando estabelecer para esse conjunto uma base. Quando escrevemos uma matriz com os coeficientes dos vetores de um conjunto qualquer de vetores e fazemos o escalonamento pode acontecer que algumas linhas se anulem. Isso decorre do fato de que essas linhas anuladas eram na verdade combinação linear das outras que não se anulavam. Assim, essas operações sobre as linhas de uma matriz fornece um critério para estabelecer dentre os vetores do conjunto gerador aqueles que são L.I.. Com isso, podemos determinar dentre os vetores do conjunto gerador aqueles que formam uma base e a dimensão do subespaço vetorial gerado pelo conjunto gerador. Por exemplo, seja o seguinte conjunto de vetores no espaço vetorial R5 G = {(1, 1, 0, 2,−1), (2, 2,−1, 0, 1), (5, 8, 9, 16, 13), (2, 5, 10, 14, 13), (1, 2, 3, 4, 5)} Vamos construir a matriz cujas linhas são as coordenadas desses vetores: 29  1 1 0 2 ... −1 2 2 −1 0 ... 1 5 8 9 16 ... 13 2 5 10 14 ... 13 1 2 3 4 ... 5  , Agora vamos procurar identificar cada uma das linhas para que no processo de escalonamento se trocarmos alguma linha de lugar possamos ao final do processo saber onde estão as linhas não nulas: 1 1 0 2 ... −1 2 2 −1 0 ... 1 5 8 9 16 ... 13 2 5 10 14 ... 13 1 2 3 4 ... 5  (1) (2) (3) (4) (5) →  1 1 0 2 ... −1 0 0 −1 −4 ... 3 0 3 9 6 ... 18 0 3 10 10 ... 15 0 1 3 2 ... 6  (1) (2) (3) (4) (5) → →  1 1 0 2 ... −1 0 1 3 2 ... 6 0 3 9 6 ... 18 0 3 10 10 ... 15 0 0 −1 −4 ... 3  (1) (5) (3) (4) (2) →  1 1 0 2 ... −1 0 1 3 2 ... 6 0 0 0 0 ... 0 0 0 1 4 ... −3 0 0 −1 −4 ... 3  (1) (5) (3) (4) (2) → →  1 1 0 2 ... −1 0 1 3 2 ... 6 0 0 −1 −4 ... 3 0 0 1 4 ... −3 0 0 0 0 ... 0  (1) (5) (2) (4) (3) →  1 1 0 2 ... −1 0 1 3 2 ... 6 0 0 −1 −4 ... 3 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0  (1) (5) (2) (4) (3) Assim ,fazendo o escalonamento trocando primeiro as linhas (5) e (2) de lugar, e depois trocando as linhas (3) e (2)de lugar chegamos a 30  1 1 0 2 ... −1 0 1 3 2 ... 6 0 0 −1 −4 ... 3 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0  (1) (5) (2) (4) (3) Assim, as linhas não nulas se referem aos vetores {(1, 1, 0, 2,−1), (1, 2, 3, 4, 5), (2, 2,−1, 0, 1)} que formam uma base para o subespaço vetorial gerado por S. Como temos três vetores nessa base então a dimensão do subespaço é 3. Observa-se que foram as trocas de linhas efetuadas nesse escalonamento que determinaram a base, se tivéssemos feito outras trocas teŕıamos obtido outras bases. Coordenadas de vetores numa base dada Voltemos a observações 2.3.1 e 2.3.2. Naquele momento nos refeŕıamos as coordenadas de um vetor com relação a uma determinada base. De fato, de acordo com a base do espaço vetorial as coordenadas de um vetor será diferente. Com relação a esse aspecto a partir de agora estaremos considerando que duas bases são diferentes mesmo quando são diferentes a ordem dos vetores que aparecem na base. Com isso introduzimos a noção de base ordenada. Vejamos o seguinte exemplo. Exemplos 2.3.5 Seja os conjuntos B1 = {(1, 0), (0, 1)}, B2 = {(0, 1), (1, 0)} e B3 = {(3, 1), (1, 2)}. Esses três conjuntos de vetores formam bases para o R2. Vamos escrever o vetor (5, 2) em cada uma dessas bases. Isso significa escrever esse vetor como combinação linear dos vetores das bases dadas. • Com relação a base B1temos a seguinte equação: (5, 2) = α(1, 0) + β(0, 1) (2.3.7) Resolver essa equação significa achar o valores de α e β que satisfazem a equação 2.3.7. Sendo que esses valores são justamente as coordenadas de (5, 2) na base dada. Assim, recaimos no sistema linear { α = 5 β = 2 Cuja solução óbvia fornece o vetor (α, β) = (5, 2). Conclúımos que o vetor (5, 2) escrito na base B1 é (5, 2). Ou seja, até o presente momento, toda vez que falamos em vetores no R2 tinhamos considerado que estes estavam escritos nessa base e por isso recorŕıamos a sua representação geométrica como sendo o plano cartesiano cuja base era representada por vetores unitários sobre o eixos coordenados. Dessa forma podemos escrever esse vetor indicando em que base ele foi escrito da seguinte forma: (5, 2)B1 . Porém quando se tratar precisamente dessa base B1 então podemos dispensar essa notação e continuaremos a escrever o vetor simplesmente como (5, 2). De fato, esta base recebe o nome especial de base canônica. 31 , para a base B cuja matriz é [ 2 3 1 −4 ] (2.4.7) . Note que as colunas das matrizes são as coordenadas dos vetores das respectivas bases. Observação 2.4.2 Como no primeiro exemplo, se na equação matricial 2.4.5 substitúımos os valores de α e β definidos temos a seguinte igualdade:[ 2 3 1 −4 ] · [ 3 −1 ] B2 = [ 3 7 ] (2.4.8) Desta equação podemos interpretar que a matriz da base B2 2.4.7 quando aplicada a um vetor de coordenadas em B2 o resultado é o vetor de coordenadas na base canônica. Assim, podemos dizer que a matriz 2.4.7 muda as coordenadas de um vetor dado na base B2 para coordenadas desse mesmo vetor na base canônica. Assim, diremos que a matriz 2.4.7 é a matriz de mudança de base da base canônica em relação a base B2. Nestes dois exemplos procuramos ressaltar o fato de que quando expressamos um vetor numa base isso implica resolver uma equação matricial, onde as novas coordenadas do vetor é a solução. Vimos que isso nos leva a resover um sistema linear. Essa tarefa para poucos vetores não é muito trabalhosa, mas para muitos vetores, ou quem sabe para todos, é imposśıvel. Entretanto, como todos vetores de um espaço vetorial pode ser expresso como combinação linear apenas com os vetores da base então bastaria pensar numa forma geral de fazer essa passagem pensando apenas nos vetores das bases envolvidas. De fato, o vetor (3, 7) pode ser escrito na base B1 = {(1, 3), (5, 1)} como a combinação linear (3, 7) = 16 7 (1, 3) + 1 7 (5, 1). (2.4.9) Assim, se pudermos escrever os vetores (1, 3) e (5, 1) como combinação linear dos vetores da base B2 = {(2, 1), (3,−4)} teremos: (1, 3) = α(2, 1) + β(3,−4); (2.4.10) (5, 1) = γ(2, 1) + δ(3,−4). (2.4.11) Então substituindo esses valores na equação 2.4.9: (3, 7) = 16 7 (1, 3) + 1 7 (5, 1) (3, 7) = 16 7 [α(2, 1) + β(3,−4)] + 1 7 [γ(2, 1) + δ(3,−4)] (3, 7) = 16 7 [α(2, 1)] + 1 7 [γ(2, 1)] + 16 7 [β(3,−4)] + 1 7 [δ(3,−4)] (3, 7) = ( 16 7 α + 1 7 γ)(2, 1) + ( 16 7 β + 1 7 δ)(3,−4) Por esta última equação chega-se a conclusão que a expressão das coordenadas do vetor (3, 7) na base B2 = {(2, 1), (3,−4)} fica dependendo apenas dos escalares α, γ, β, δ nas equações 2.4.10 e 2.4.11. Isso nos leva a resolver os sistemas{ 2α + 3β = 1 α− 4β = 3 (2.4.12) 34 { 2γ + 3δ = 5 γ − 4δ = 1 (2.4.13) Assim, podemos resolver de forma prática simultaneamente os dois sistemas através da seguinte matriz ampliada:  2 3 ... 1 ... 5 1 −4 ... 3 ... 1  (2.4.14) Procedemos agora de modo a tornar a matriz dos coeficientes na matriz identidade (ver item 1.2.2): 2 3 ... 1 ... 5 1 −4 ... 3 ... 1  ≡  1 32 ... 12 ... 52 1 −4 ... 3 ... 1  ≡  1 32 ... 12 ... 52 0 − 112 ... 52 ... − 32  ≡ ≡  1 32 ... 12 ... 52 0 1 ... − 511 ... 311  ≡  1 0 ... 1311 ... 2311 0 1 ... − 511 ... 311 . Dessa forma chegamos aos escalares procurados. Dos exemplos anteriores podemos dizer que existe uma forma de passar, por exemplo, da base B1 para a base B2, isto é, se queremos expressar as coordenadas de um vetor na base B1 em uma outra base B2, então queremos passar de B1 para B2. Como observado nesses exemplos a expressão das coordenadas de um vetor numa base dada dependia do produto de uma matriz por um vetor. Agora neste caso temos explicitamente duas bases dadas, como passar da matriz de uma base para a matriz de outra base? Isto significa relacionar as duas matrizes pela seguinte equação matricial:[ 1 5 3 1 ] = [ 2 3 1 −4 ] · [ α γ β δ ] 1. (2.4.15) Ou seja, existe uma matriz [ α γ β δ ] que permite passar de uma base para outra. Além disso, podemos ver que para achar essa matriz temos que resolver o seguinte sistema linear: 2α + 3β = 1 α− 4β = 3 2γ + 3δ = 5 γ − 4δ = 1 (2.4.16) Resolvendo o sistema por escalonamento da matriz ampliada do sistema, 1Lembramos que tratamos com matrizes quadradas logo estamos no anel das matrizes quadradas, isso implica que na equação 2.4.15 a matriz procurada deve ter a mesma ordem das matrizes envolvidas na equação 35  2 3 0 0 ... 1 1 −4 0 0 ... 3 0 0 2 3 ... 5 0 0 1 −4 ... 1  , Observação 2.4.3 Note que no sistema 2.4.16, relativo a equação 2.4.15, as incógnitas das duas primeiras equações não aparecem nas duas últimas. Com isso podemos separar esse sistema em dois sistemas onde os coeficientes das incógnitas nos dois sistemas são iguais. Isso nos leva de volta a resolução dos sistemas 2.4.12 e 3.3.2, e ao método de resolução através da matriz 2.4.14. Desse modo chegamos a [ α γ β δ ] = [ 13 11 23 11 − 511 3 11 ] . Esta última é a matriz de mudança de base da base B2 em relação a base B1. Com isso, podemos calcular as coordenadas de qualquer vetor dado na base B1 na nova base B2. Exemplos 2.4.3 Por exemplo, calcular a expressão do vetor (3, 7) na base B2. Como tenho a matriz de mudança de base da base B2 em relação a base B1 e como conheço a expressão do vetor (3, 7) na base B1 que é (3, 7) = ( 167 , 1 7 )B1 . Então a expressão de (3, 7) na base B2 pode ser calculado da seguinte equação matricial:[ 3 7 ] = [ [ 13 11 23 11 − 511 3 11 ] · [ 3 7 ] ] B2 , mas como (3, 7) = ( 167 , 1 7 )B1 então,[ 3 7 ] = [ [ 13 11 23 11 − 511 3 11 ] · [ 16 7 1 7 ] B1 ] B2 . Calculando o segundo membro desta igualdade chegamos a (3, 7) = ( 167 , 1 7 )B1 = (3,−1)B2 . Exemplos 2.4.4 Sejam B1 = {(2, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 1)} e B2 = {(6, 3, 3), (4,−1, 3), (5, 5, 2)} duas bases para R3, espaço vetorial sobre o corpo R. Dado o vetor (1, 2,−2)B1 , calcular suas coordenadas na base B2. A t́ıtulo de exerćıcio vamos calcular a matriz mudança de base [M ]B1→B2 da base B2 em relação a base B1. Para isso adotaremos o método prático estudado. Seja então a seguinte matriz:  2 1 1 ... 6 ... 4 ... 5 0 2 1 ... 3 ... −1 ... 5 1 0 1 ... 3 ... 3 ... 2  (2.4.17) Procedendo ao escalonamento, segundo o método, temos: 36 ≡  1 2313 ... 1113 0 0 1 ... 514 13 14  ≡  1 0 ... 314 − 2314 0 1 ... 514 13 14 . A duas últimas colunas dessa matriz é justamente a matriz mudança de base da base B1 em relação a base B2. Para verificar vamos tomar o vetor (3, 7) cujas coordenadas expressas na base B2 nos dá a seguinte igualdade (3, 7) = (3,−1)B2 . Assim, para obter as coordenadas desse vetor na base B1 basta resolver a seguinte equação:[ 3 7 ] = [ [ 3 14 − 23 14 5 14 13 14 ] · [ 3 7 ] ] B1 , mas como é (3, 7) = (3,−1)B2 então,[ 3 7 ] = [ [ 3 14 − 23 14 5 14 13 14 ] · [ 3 −1 ] B2 ] B1 . Calculando o segundo membro desta igualdade chegamos a (3, 7) = ( 167 , 1 7 )B1 . Encerramos esta seção chamando a atenção para uma importante aplicação da mudança de base, especialmente nos espaços vetoriais sobre o corpo dos reais de dimensão dois e três, isto é, aqueles que podemos representar geomericamente através do plano e do espaço euclidiano. Neste casos, a mudança de base de uma base arbitrária para a base canônica posibilita sempre podermos usar um sistema cartesiano de eixos ortogonais para representar um vetor dado naquela base arbitrária. Uma outra aplicação diz respeito a simplificação de certas matrizes que quando expressas numa determinada base acaba por facilitar a resolução de equações matriciais onde elas figuram. No próximo caṕıtulo passamos ao assunto seguinte, as transformações lineares, onde aplicaremos essa idéia. 2.5 Exerćıcios Exerćıcio 2.5.1 Verifique se os seguintes conjuntos geram os espaços vetoriais indicados no qual estão contidos.: a. {(1, 2), (−1, 1)} ⊂ R2 b. {(0, 0), (1, 1), (−2,−2)} ⊂ R2 c. {(1, 3), (2,−3), (0, 2)} ⊂ R2 d. {(1,−1, 2), (0, 1, 1)} ⊂ R3 e. {(1, 2,−1), (6, 3, 0), (4,−1, 2), (2,−5, 4)} ⊂ R3 f. {(2, 2, 3), (−1,−2, 1), (0, 1, 0)} ⊂ R3 g. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} ⊂ R3 h. {(1, 1, 0, 0), (1, 2,−1, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 1, 2, 1)} ⊂ R4 39 Exerćıcio 2.5.2 Para os seguintes conjuntos: 1. Verifique se são L.I. ou L.D. 2. Indique qual deles formam uma base para o espaço vetorial no qual estão contidos. Justifique sua resposta. 3. Se o conjunto for L.D., escreva um dos vetores como combinação linear dos outros.: a. {(1, 3), (2,−1)} ⊂ R2 b. {(1,−7), (−4, 28)} ⊂ R2 c. {(1,−3, 7), (2, 4, 3)} ⊂ R3 d. {(0,−2, 5), (0, 4,−10)} ⊂ R3 e. {(1, 2, 1), (1,−1, 0), (2, 3, 4)} ⊂ R3 f. {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (3,−1, 7)} ⊂ R3 g. {(1, 2, 3, 4), (1, 1, 2, 3)} ⊂ R4 h. {(1, 2, 3, 4), (−2, 1, 2, 1), (−1, 8, 13, 14)} ⊂ R4 i. {(1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 2), (4, 6, 8, 6), (0, 3, 2, 1)} ⊂ R4 j. {(1,−2, 3,−1), (−2, 4,−6, 2)} ⊂ R4 k. {(1, 1, 1, 1), (2, 3, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (2, 2, 1, 1)} ⊂ R4 l. {(4, 2,−1, 3), (6, 5,−5, 1), (2,−1, 3, 5)} ⊂ R4 Exerćıcio 2.5.3 Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços: a. S ⊂ R3 gerado por {(1, 0, 1), (2, 1,−1), (3, 1, 5)}; b. S ⊂ R3 gerado por {(1, 2, 3), (2, 1, 4), (−1,−1, 2), (0, 1, 2), (1, 1, 1)}; c. S ⊂ R4 gerado por {(2, 3, 0, 1), (3, 3,−1,−3), (−1, 0, 1, 4)}; d. S ⊂ R4 gerado por {(1, 1, 2, 1), (1, 0,−3, 1), (0, 1, 1, 2), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)}; e. S ⊂ R4 gerado por {(1, 2, 1, 2), (2, 1, 2, 1), (3, 2, 3, 2), (3, 3, 3, 3), (5, 3, 5, 3)}; f. S ⊂ R5 gerado por {(1,−2, 0, 3,−5), (3, 2, 8, 1, 4), (3, 2, 7, 2, 3), (−1, 2, 0, 4,−3)}; g. S = {(x, y, z, w) ⊂ R4|x = y e 2x− y + 3z − w = 0}; h. S = {(x, y, z, u, v) ⊂ R5|x = z = v}; Exerćıcio 2.5.4 Determine qual dos seguintes subconjuntos formam uma base para o R3 e expresse o vetor (2,1,3) como combinação linear linear do conjunto de vetores que formam uma base. a. {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 0)}; b. {(1, 2, 3), (2, 1, 3), (0, 0, 0)}; c. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}; 40 d. {(2, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 1, 4), (1, 5, 1)}; e. {(1, 1, 2), (2, 2, 0), (3, 4,−1)}; Exerćıcio 2.5.5 Dadas as bases B1 = {(1, 2), (0, 1)} e B2 = {(1, 1), (2, 3)} para o R2 e os vetores v = (1, 5) e u = (3, 4), pede-se: a. Encontre a matriz de mudança de base da base B1 em relação a base canônica; b. Calcule as coordenadas do vetores v e u dados na base canônica na base B1; c. Encontre a matriz de mudança de base da base B2 em relação a base canônica; d. Calcule as coordenadas dos vetores v e u dados na base canônica na base B2; e. Encontre a matriz de mudança de base da base B2 em relação a base B1; f. Calcule as coordenadas do vetor wB1 = (4, 1)B1 na base B2; g. Encontre a matriz de mudança de base da base B1 em relação a base B2; h. Calcule as coordenadas do vetor wB2 = (3, 0)B2 na base B1; i. Encontre as matriz de mudança de base da base canônica em relação a base B1; j. Encontre as matriz de mudança de base da base canônica em relação a base B2; k. Calcule as coordenadas do vetor (3, 0)B2 e (4, 1)B1 na base canônica. Como você faria isso sem precisar calcular a matriz de mudança de base?; Exerćıcio 2.5.6 Dadas as bases B1 = {(1, 0, 1), (−1, 0, 0), (0, 1, 2)} e B2 = {(−1, 1, 0), (1, 2,−1), (0, 1, 0)} para o R3 e os vetores v = (1, 3, 8) e u = (−1, 8,−2), pede-se: a. Encontre a matriz de mudança de base da base B1 em relação a base canônica; b. Calcule as coordenadas do vetores v e u dados na base canônica na base B1; 41 [A][u + v] = [A][u] + [A][v]; [A][λv] = λ([A][u]). Em analogia com essas equações, trocando [A] por T temos a seguinte definição de transformação linear: Definição 3.1.1 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo R e T uma função definida sobre V com valores em W. Então T é uma transformação linear se, para quaisquer v, u ∈ V e para todo λ ∈ R, T satisfizer as seguintes igualdades: T (u + v) = T (u) + T (v); (3.1.1) T (λv) = λ(T (u)). (3.1.2) Seguem alguns exemplos clássicos de transformações lineares, com referência ao espaço vetorial R2, geometricamente o plano real: 3.2 Exemplos de transformações lineares Exemplos 3.2.1 [Projeção da primeira coordenada]Seja π uma função definida sobre R2 que fornece valores em R2 tal que, para um vetor qualquer v = (x, y) ∈ R2, π[(x, y)] = (x, 0). Ou seja: π : R2 → R2 π[(x, y)] 7→ (x, 0) Para demonstrar que a função π é uma transformação linear devemos mostrar que π satisfaz as igualdades 3.1.1 e 3.1.2. Assim, sejam v = (a, b) e u = (c, d) ∈ R2 e α ∈ R. Quanto a 3.1.1: π(v + u) = π(v) + π(u) π[(a, b) + (c, d)] = π[(a, b)] + π[(c, d)] π[(a + c, b + d)] = (a, 0) + (c, 0) (a + c) = (a + c) Com essa última igualdade vemos que a projeção da primeira coordenada da soma dos vetores é igual a soma das projeções das primeiras coordenadas dos vetores. Em relação a 3.1.2: π(αv) = απ(v) π[α(a, b)] = απ[(a, b)] π[(αa, αb)] = α(a, 0) (αa, 0) = (αa, 0) 44 Da última igualdade vemos que a projeção da primeira coordenada do produto por um escalar de um vetor é igual ao produto por um escalar da projeção da primeira coordenada de um vetor. Logo, segue que a função π, projeção da primeira coordenada, é uma transformação linear. De modo geral, se π[(x, y)] = (x, 0) então em termos matriciais, se π puder ser traduzido como uma matriz [Π]2×24, podeŕıamos pensar na seguite equação matricial:[ α γ β δ ] · [ x y ] = [ x 0 ] Resolvendo essa equação chegamos a [ 1 0 0 0 ] . Assim, temos uma expressão matricial da transformação linear π, a qual chamaremos de matriz da transformação linear π. Exemplos 3.2.2 [Rotação]Seja ρ uma função definida sobre R2 que fornece valores em R2 tal que, para um vetor qualquer v = (x, y) ∈ R2, ρ[(x, y)] = (x cosθ − y senθ, y cosθ + x senθ), 0 ≤ θ ≤ 2π. Ou seja: ρ : R2 → R2 ρ[(x, y)] 7→ (x cosθ − y senθ, y cosθ + x senθ) Neste caso, como no exemplo anterior, temos uma expressão matricial de ρ. Aqui a equação ma- tricial é: [ α γ β δ ] · [ x y ] = [ x cosθ − y senθ y cosθ + x senθ ] Resolvendo essa equação chegamos a [ cosθ − senθ senθ cosθ ] . Que é a expressão matricial de ρ, ou ainda a matriz da transformação ρ. Exemplos 3.2.3 [Reflexão em relação ao eixo dos “x”]Seja ϕ uma função definida sobre R2 que fornece valores em R2 tal que, para um vetor qualquer v = (x, y) ∈ R2, ϕ[(x, y)] = (x,−y). Ou seja: ϕ : R2 → R2 ϕ[(x, y)] 7→ (x,−y) 4Não há arbitrariedade na escolha da ordem dessa matriz, e isto ficará claro nos exemplos seguites. Neste caso a matriz procurada deve multilpicar um vetor de dimensão 2 cujo produto é um vetor de dimensão 2. Assim, haveria outra opção por exemplo, uma matriz [M ]2×1. Isso funcionaria no caso espećıfico dessa transformação, mas não no caso geral. 45 Para calcular a expressão matricial dessa transformação procedemos do mesmo modo que nos ex- emplos anteriores. [ α γ β δ ] · [ x y ] = [ x −y ] Resolvendo essa equação chegamos a matriz da transformação[ 1 0 0 −1 ] . Exemplos 3.2.4 [Dilatação e contração]Seja τ uma função definida sobre R2 que fornece valores em R2 tal que, para um vetor qualquer v = (x, y) ∈ R2, τ [(x, y)] = α(x, y). Ou seja: τ : R2 → R2 τ [(x, y)] 7→ α(x, y) Neste caso τ será uma dilatação se α < 1, e será uma contração se 0 ≤ α < 1. De qualquer forma a matriz da transformação deve ser:[ α γ β δ ] · [ x y ] = [ αx αy ] Logo, a matriz da transformação é [ α 0 0 α ] . Após esses exemplos clássicos, daremos mais dois exemplos de funções que são transformações lineares. Exemplos 3.2.5 Seja a função T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (5x−3y, 2x+9y). Vamos mostrar que T é uma tranformação linear. Para ser linear T deve satisfazer a definição 3.1.1. Assim vamos proceder como no exemplo 3.2.1. Sejam v = (a, b) e u = (c, d) ∈ R2 e α ∈ R, então T (v + u) = T (v) + T (u) T [(a, b) + (c, d)] = T [(a, b)] + T [(c, d)] T [(a + c, b + d)] = (5a− 3b, 2a + 9b) + (5c− 3d, 2c + 9d) (5(a + c)− 3(b + d)), (2(a + c) + 9(c + d)) = (5a− 3b + 5c− 3d, 2a + 9b + 2c + 9d) (5(a + c)− 3(b + d)), (2(a + c) + 9(c + d)) = (5(a + c)− 3(b + d)), (2(a + c) + 9(c + d)) e, T (αv) = αT (v) T [α(a, b)] = αT [(a, b)] T [(αa, αb)] = α(5a− 3b, 2a + 9b) (5αa− 3αb, 2αa + 9αb) = (5αa− 3αb, 2αa + 9αb) 46 Proposição 3.2.2 Sejam λ ∈ R, U , V, W espaços vetoriais, F : U → V, G : U → V eH : V → W transformações lineares. Então, a. F ⊕ G : U → V, tal que (F ⊕ G)(u) = F(u) + G(u), é uma transformação linear; b. λ⊗F : U → V, tal que (λ⊗F)(u) = λ(F)(u), é uma transformação linear; c. F ◦ G : U → V, tal que (F ◦ G)(u) = F(G(u)), é uma transformação linear; Dos itens a. e b., considerando o conjunto T das transformações lineares com as operações ⊕, soma entre as transformações lineares, e ⊗, produto de uma transformação por um escalar λ ∈ R, podemos dizer que (T, ⊕, ⊗) é um espaço vetorial sobre o corpo R.5 3.2.2 O núcleo e a imagem de uma transformação linear: subespaços vetoriais Proposição 3.2.3 Seja T : U → V uma transformação linear entre os espaços vetoriais U e V Então o subconjunto kerT = {u ∈ U|T (u) = 0}, designado núcleo ou ker de T 6 da transformação linear T , é um subespaço vetorial de U . Proposição 3.2.4 Seja T : U → V uma transformação linear entre os espaços vetoriais U e V Então o subconjunto ImT = {v ∈ V|∃u ∈ U ; T (u) = v} é um subespaço vetorial de U Sejam U um espaço vetorial de dimensão finita, {u1, u2, . . . , up} uma base para U e T : U → V uma transformação linear. Com relação ao subespaço vetorial ImT podemos afirmar o seguinte: a. O conjunto {T (u1), T (u2), . . . , T (up)} é um conjunto gerador de ImT ; b. O sistema de geradores {T (u1), T (u2), . . . , T (up)} é L.D. ⇔ kerT 6= {0}; c. Do anterior podemos dizer que: o sistema de geradores {T (u1), T (u2), . . . , T (up)} é L.I. ⇔ kerT = {0}; Proposição 3.2.5 Sejam U , V espaços vetoriais de dimensão finita e T : U → V uma trans- formação linear. Então Dimensão de kerT + Dimensão de ImT = Dimensão de U Definição 3.2.1 (A inversa de uma transformação linear) Sejam U , V espaços vetoriais de dimensão finita e T : U → V uma transformação linear. Então T é inverśıvel se, e somente se, existe uma função S : V → U tal que T ◦ S = IU e S ◦ T = IV de onde podemos dizer que, 5 Além disso, a t́ıtulo de curiosidade, se considerarmos a operação ◦, composição de transformações lineares, então (T, ⊕, ⊗, ◦) tem uma estrutura ágébrica denominada Álgebra. Para maiores detalhes ver [2], [9]. 6Em inglês Kernel, dáı a abreviação ker para esse conjunto. 49 T (S)[u] = u, ∀u ∈ U e S(T )[v] = v,∀v ∈ V Proposição 3.2.6 Sejam U espaço vetorial de dimensão finita e T : U → V uma transformação linear. Então T é inverśıvel se, e somente se, T é bijetora. Proposição 3.2.7 Sejam U espaço vetorial de dimensão finita e T : U → V um operador linear. Então T não é inverśıvel se, e somente se, ker T 6= 0. 3.3 Matrizes de transformações lineares Vamos voltar nossa atenção nessa seção para as matrizes associadas as transformações lineares. Para isso vamos rever os exemplos 3.2.5 e 3.2.6 e discutir qual a relação entre as matrizes obtidas e as bases dos espaços vetoriais envolvidas em cada transformação. Exemplos 3.3.1 No exemplo 3.2.5 a função T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (5x− 3y, 2x + 9y) é uma tranformação linear. Devemos notar que se C = {(1, 0), (0, 1)} é a base canônica para o espaço vetorial R2 então todo vetor (x, y) ∈ R2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, ou seja, (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). Matricialmente temos o seguinte:[ x y ] = [ 1 0 0 1 ] · [ x y ] Nesse caso aplicarmos T um vetor (x, y) teremos T [(x, y)], mas como (x, y) = x(1, 0)+y(0, 1) então T [(x, y)] = T [x(1, 0) + y(0, 1)]. Matricialmente teremos o seguinte: [ T ] · [ x y ] = [ T ] · [ 1 0 0 1 ] · [ x y ] (3.3.1) Assim, considerando as colunas da matriz da base canônica como os vetores da base, se aplicamos T a esses vetores obtemos T [(1, 0)] = (5, 2) = 5(1, 0) + 2(0, 1) e T [(0, 1)] = (−3, 9) = −3(1, 0) + 9(0, 1), ambos escritos como combinação linear dos vetores da base canônica. . Ou seja na equação 3.3.1 ficamos com o seguinte: [ T ] · [ x y ] = [ 5 −3 2 9 ] · [ x y ] Ou seja, a matriz [ T ] C→C da transformação linear T : R 2 → R2 tal que T [(x, y)] = (5x−3y, 2x+ 9y) da base canônica em relação a base canônica é [ 5 −3 2 9 ] C→C . Logo, na obtenção da matriz 3.2.1 estava implicito esta relação com as bases do domı́nio e do contradomı́nio da transformação. Observação 3.3.1 De acordo com o exemplo anterior faremos o seguinte resumo para obter a ma- triz de uma transformação linear segundo as bases envolvidas no domı́nio e no contradomı́nio da transformação. Sejam U e V espaços vetoriais e T : U → V uma transformação linear. Além disso, sejam B1 = {u1, u2, . . . , ur} uma base para U , o domı́nio de T , e B2 = {v1, v2, . . . , vs} uma base para V, 50 o contradomı́nio de T . O conjunto ImB1 = {T (u1), T (u2), . . . , T (ur)} é a imagem dos vetores da base B1 do domı́nio de T . A expressão de cada T (ui) ∈ ImB1 na base B2 = {v1, v2, . . . , vs} fornece as seguintes equações: T (u1) = α1v1 + α2v2 + . . . + αsvs T (u2) = β1v1 + β2v2 + . . . + βsvs ... = ... T (ur) = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λsvs A matriz [ T ] B1→B2 da transformação linear T : U → V da base B1 em relação a base B2 é dada pela matriz  α1 β1 · · · λ1 α2 β2 · · · λ2 ... ... . . . ... αs βs · · · λs  B1→B2 , (3.3.2) onde as colunas de [ T ] B1→B2 são os vetores de coordenadas na base B2 da imagem de T aplicada na base B1. Exemplos 3.3.2 Neste exemplo vamos aplicar as informações sistematizadas na observação an- terior. Para isso vamos nos reportar ao exemplo 3.2.6. Seja a tranformação linear T : R3 → R2 tal que T [(x, y, z)] = (x − y + z, 2x + 3y − 7z). Num primeiro momento vamos admitir que as bases canônicas para R3 e R2, ou seja, C3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e C2 = {(1, 0), (0, 1)} , respectivamente. Assim, para construir a matriz de T seguiremos o seguinte: Calculo de T aplicada na base C3 T [(1, 0, 0)] = (1, 2) T [(0, 1, 0)] = (−1, 3) T [(0, 0, 1)] = (1,−7) Calculo dos vetores de coordenadas em C2 de cada imagem de T em relação aos vetores da base C3 (1, 2) = α1(1, 0) + α2(0, 1) (−1, 3) = β1(1, 0) + β2(0, 1) (1,−7) = γ1(1, 0) + γ2(0, 1) 51 T [(0, 1)] = (−3, 1) = −3(1, 0) + 1(0, 1) nos fornece a matriz [ T ] C→C = [ 1 −3 2 1 ] C→C Calculo da matriz de mudança de base da base B1 em relação a base C Para isso usamos o método prático da observação 2.4.3. Desse modo, as duas primeiras colunas da matriz am- pliada a seguir provém dos vetores da base B1 e as duas útlimas colunas provém dos vetores da base C. 2 1 ... 1 0 5 3 ... 0 1  ≡  1 12 ... 12 0 5 3 ... 0 1  ≡  1 12 ... 12 0 0 12 ... − 52 1  ≡ ≡  1 12 ... 12 0 0 1 ... −5 2  ≡  1 0 ... 3 −1 0 1 ... −5 2 . Logo a matriz [ 3 −1 −5 2 ] C→B1 é [M ]C→B1 a matriz de mudança de base da base B1 em relação a base C. Calculo da matriz de mudança de base da base C em relação a base B1 Lembrando que procu- ramos a matriz inversa de [M ]C→B1 , ou seja, [M ]B1→C. Para tanto podemos usar o método prático de cálculo da inversa visto na obsrevação 2.4.4. Dessa forma, as duas primeiras col- unas à direita provém da matriz [M ]C→B1 , e as duas últimas provém da matriz identidade. 7 3 −1 ... 1 0 −5 2 ... 0 1  ≡  1 − 13 ... 13 0 −5 2 ... 0 1  ≡  1 − 13 ... − 13 0 0 13 ... 53 1  ≡ ≡  1 − 13 ... − 13 0 0 1 ... 5 3  ≡  1 0 ... 2 1 0 1 ... 5 3 . Logo a matriz [ 2 1 5 3 ] B1→C é [M ]B1→C a matriz de mudança de base da base C em relação a baseB1 . 7Cuidado!! Repare que é apenas uma coincidência o fato de serem iguais as duas últimas colunas que aparecem nesse caso e as duas últimas colunas que aparecem no cálculo do item anterior. 54 Finalmente, cálculo da matriz de T na base B1 Agora vamos usar a igualdade estabelecida em 3.3.4, [ T ] B1→B1 = [ I ] C→B1 · [ T ] C→C · [ I ] B1→C , a partir da qual formularemos a seguinte equação matricial substituindo as matrizes encon- tradas anteriormente. Assim, temos [ T ] B1→B1 = [ 3 −1 −5 2 ] C→B1 · [ 1 −3 2 1 ] C→C · [ 2 1 5 3 ] B1→C Resolvendo esta última equação obtemos [ T ] B1→B1 = [ −48 −29 83 50 ] B1→B1 que é a matriz da transformação linear T com relação a base B1. Observação 3.3.2 É preciso observar que existe outra forma de determinar a matriz da trans- formação T com relação a base B1. Se optamos pelo método acima foi pela conveniência de agora podermos verificar a sua eficácia. Assim, vamos calcular a matriz de T de outro modo e comparar os resultados. Vamos proceder segundo a observação 3.3.1, logo devemos achar a matriz[ α1 β1 α2 β2 ] , onde as colunas são os vetores de coordenadas na base B1 das imagens de T aplicada nos vetores da base a base B1: Calculo de T aplicada na base B1 T [(2, 5)] = (−13, 9) T [(1, 3)] = (−8, 5) Calculo dos vetores de coordenadas em B1 de cada imagem de T em relação aos vetores da base B1 (−13, 9) = α1(2, 5) + α2(1, 3) (−8, 5) = β1(2, 5) + β2(1, 3) Isso nos leva a resolver os sistemas { 2α1 + α2 = −13 5α1 + 3α2 = 9 55 { 2β1 + β2 = −8 5β1 + 3β2 = 5 Os quais podem ser resolvidos simultaneamente através da seguinte matriz ampliada: 2 1 ... −13 ... −8 5 3 ... 9 ... 5  De onde chegamos na matriz  1 0 ... −48 ... −29 0 1 ... 83 ... 50  As duas colunas a direita fornecem os vetores de coordenadas em B1 das imagens de T sobre os vetores de B1. Segue imediatamente que a matriz de T na base T é justamente[ −48 −29 83 50 ] B1→B1 Assim, do exemplos acima vimos que a matriz associada a transformação linear depende da escolha da base do espaço vetorial onde está definida a transformação. Neste sentido, para facilitar o cálculo resultante da aplicação de uma transformação linear devemos procurar estabelecer uma matriz que tenha uma forma a mais simples posśıvel para essa tarefa. Decorre então que a matriz mais simples é uma matriz diagonal, e no contexto das transformações lineares estamos nos referindo a operadores lineares. 3.3.2 Diagonalização de operadores lineares Seja λij ∈ R, a matriz a seguir λ11 zeros λ22 zeros . . . λnn  é uma matriz diagonal. A pergunta que surge é: como obter uma matriz de um transformação linear que esteja na forma diagonal? Para responder a essa questão devemos lembrar de duas coisas: • Para uma matriz de uma transformação ser diagonal a matriz tem que ser quadrada, logo o domińıo e o contradomı́nio da transformação devem ser iguais, isto é, a transformação deve ser um operador linear. • A matriz de uma transformação qualquer depende dos vetores da base do espaço vetorial no qual está definida a transformação linear, portanto o que temos que fazer é definir uma base apropriada do espaço vetorial no qual a matriz da transformação esteja na forma diagonal. 56 c. V(λ) é o núcleo do operador (T − λI); onde I é a transformação identidade de U , isto é, I(u) = u, ∀u ∈ U ; d. V(λ) 6= {0}, ou seja, se, e somente se, ker(T − λI) 6= {0}. A expressão ker(T − λI) 6= {0} nos dá uma informação importante que permitirá chegarmos aos autovalores procurados e, consequentemente, aos autovetores. Para isso vamos recuperar um fato sobre matrizes: Observação 3.3.3 Uma matriz quadrada [A] admite inversa se, e somente se, det[A] 6= 0. Vale lembrar que uma das formas de se calcular a matriz inversa [A]−1 de uma matriz [A] é através da expressão [A]−1 = 1 det[A] (adj[A]) (3.3.9) onde, (adj[A]) é a matriz adjunta de [A] e a matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de [A]. De qualquer modo, o que nos importa é que na equação 3.3.9 o denominador det[A] não pode ser nulo para que a inversa de [A] exista. Finalmente, com base na observação acima, da expressão ker(T − λI) 6= {0} e relembrando o resultado da proposição 3.2.7, temos o seguinte: • ker(T − λI) 6= {0}, logo o operador T − λI não é inverśıvel 9; • o operador T − λI não é inverśıvel, logo a matriz do operador não admite inversa, o que acarreta que det[T − λI] = 0. (3.3.10) Esse último item nos permite calcular os autovalores de T . Veremos isso, voltando ao nosso exemplo 3.3.4. A matriz de T era [ 1 2 −3 6 ] C→C . Segundo a expressão 3.3.10 então devemos ter det [ 1 2 −3 6 ] C→C − λ [ 1 0 0 1 ] C→C = 0 (3.3.11) Que é o mesmo que det [ 1− λ 2 −3 6− λ ] C→C = 0 Calculando o determinante 10 indicado no primeiro membro desta equação chegamos a seguinte expressão (1− λ)(6− λ)− (2)(−3) = 0 9O operador [T −λI] não pode ser inverśıvel, pois, caso contrário, se (T −λI) fosse inverśıvel existiria o operador (T −λI)−1 tal que para o autovetor vi ∈ V teŕıamos [(T −λI) ◦ (T −λI)−1)](vi) = 0 que resultaria em vi = 0, mas pela definição de autovetor vi 6= 0. Assim,(T − λI) não pode ser inverśıvel. 10Ver Apêndice B para cálculo do determinante 59 Desenvolvendo os produtos indicados (1− λ)(6− λ)− (2)(−3) = 0 6− 6λ− λ + λ2 + 6 = 0 λ2 − 7λ + 12 = 0 recaimos numa equação do segundo grau na variável λ, cujas ráızes reais são 3 e 4. Logo os autovalores de T são 3 e 4. Observação 3.3.4 Ao polinômio P(λ) = λ2 − 7λ + 12, resultante do cálculo do determinante em 3.3.11, damos o nome de polinômio caracteŕıstico11, cujas ráızes reais são os autovalores λi. Se as ráızes não forem todas reais então o operador em questão não é diagonalizável. Além disso, discu- tiremos na seção seguinte as noções de multiplicidade álgébrica e multiplicidade geométrica de uma raiz de um polinômio caracteŕıstico. Porém, adiantamos que se a multiplicidade geométrica for menor que a multiplicidade algébrica, então o operador também naõ é diagonalizável Agora, devmos calcular os vetores próprios associados a cada um dos autovlores. A partir da equação 3.3.11 com o autovalor 3 montamos a seguite expressão matricial: (T − 3I) = [ 1 2 −3 6 ] C→C − 3 [ 1 0 0 1 ] C→C obtemos (T − 3I) = [ −2 2 −3 3 ] C→C Com relação ao operador (T − 3I) podemos afirmar que se um vetor w = (x, y) ∈ ker(T − 3I) então pela afirmação 3.3.2 e pela definição 3.2.3 de ker de uma transformação linear:[ −2 2 −3 3 ] C→C · [ x y ] = [ 0 0 ] Essa última equação nos leva ao sistema linear homogêneo{ −2x + 2y = 0 −3x + 3y = 0 que é um sistema posśıvel indeterminado cuja solução geral pode ser expressa como (x, y) = α(1, 1). Ou seja, os vetores de ker(T − 3I) são os vetores (x, y) = α(1, 1), logo o vetor (1, 1) e seus múltiplos não nulos são os vetores próprios de T associados ao autovalor 3. Com isso o autoespaço V(3) = {(x, y) ∈ R2|y = x}, isso quer dizer que o autoespaço é gerado pelo vetor (1, 1). O mesmo procedimento será adotado para determinar os autovetores associados ao autovalor 4. (T − 3I) = [ −2 2 −3 3 ] C→C 11Um modo prático de procurar as ráızes de um polinômio é através da fatoração do polinômio. Nesse caso temos o polinômio P(λ) = λ2 − 7λ + 12. Observe que P(λ) = λ2 − 7λ + 12 pode ser colocado na forma fatorada P(λ) = λ2− 7λ + 12 = (λ− 3)(λ− 4). Os termos 3 e 4 nos fatores (λ− 3) e (λ− 4) são ráızes do polinômio, uma vez que P = (λ− 3)(λ− 4) = 0 implica que ou (λ− 3) = 0, e nesse caso lambda = 3, ou (λ− 4) = 0 e nesse caso λ = 4. Para maiores detalhes ver Apêndice A 60 Com relação ao operador (T − 4I) podemos afirmar que se um vetor w = (x, y) ∈ ker(T − 4I) então: [ −3 2 −3 2 ] C→C · [ x y ] = [ 0 0 ] Essa última equação nos leva ao sistema linear homogêneo{ −3x + 2y = 0 −3x + 2y = 0 que é um sistema posśıvel indeterminado cuja solução geral pode ser expressa como (x, y) = (β, 32β = 1 2β(2, 3). De onde, como no caso anterior para o autovalor 3, podemos concluir que o vetor (2, 3) e seus múltiplos não nulos são autovetores associados ao autovalor 4, logo o autoespaço V(4) = {(x, y) ∈ R2|y = 32x}, isso quer dizer que o autoespaço é gerado pelo vetor (2, 3). Com isso, dizemos que a base B formada pelos autovetores de T é B = {(1, 1), (2, 3)}. E que a matriz diagonal é com relação a essa base:[ 3 0 0 4 ] B→B Na seção seguinte vamos sistematizar o algoritmo para obtenção dos autovalores de um operador linear e seus respectivos autovetores, bem como a matriz diagonal com relação a base de autovetores encontrada. 3.3.3 Diagonalização Segue um método prático para diagonalizar um operador linear T sobre o espaço vetorial U de dimensão n. Etapa 1 Encontre a matriz do operador T com relação a base canônica; Etapa 2 Forme o polinômio caracteŕıstico P(λ) de T a partir do cálculo do determinante12 det(T − λI), onde I é o operador identidade de U ; Etapa 3 Encontre todas as ráızes reais do polinômio caracteŕıstico de T . Se as ráızes não forem todas reais, então T não é diagonalizável; Etapa 4 Com relação a observação 3.3.4, para cada autovalor λi de T : a. A multiplicidade algébrica de λi é o número de vezes que λi é raiz do polinômio caracteŕıstico. b. A multiplicidade geométrica é a dimensão do autoespaço V(λi) = ker(T − λiI) associado ao autovalor λi. Assim segue que T não é diagonalizável se a multiplicidade geométrica for diferente da mul- tiplicidade algébrica; 12Ver Apêndice B para cálculo do determinante 61 obtemos  2 1 13 0 1 6 2 1  C→C − (−1)  1 0 00 1 0 0 0 1  C→C =  3 1 13 1 1 6 2 2  C→C de onde  3 1 13 1 1 6 2 2  C→C ·  xy z  =  00 0  E isso nos leva a resolver o sistema linear homogêneo 3x + y + z = 03x + y + z = 06x + 2y + 2z = 0 O sistema é posśıvel e indeterminado, com grau de liberdade igual a dois, tomando x = α e y = β, então o conjunto solução V(−1) pode ser escrito como V(−1) = {(x, y, z) ∈ R3|x = α, y = β e z = −3α − β; α, β ∈ R}. Precisamos descobrir os vetores que geram V(−1), como uma solução geral pode ser escrita como (α, β,−3α + β) então (α, β,−3α + β) = (α, 0,−3α) + (0, β,−β) = α(1, 0,−3) + β(0, 1,−1) Iso significa que qualquer solução pode ser escrita como combinação linear dos vetores {(1, 0,−3), (0, 1,−1)}. Logo esses vetores formam uma base para V(−1). Como temos dois vetores na base de V(−1), então a dimensão desse autoespaço associado ao autovalor λ1 = −1 é 2, ou seja, a multilpicidade geométrica de λ1 = −1 é 2. Que é igual a multiplicidade algébrica. ii. Para o autovalor λ1 = 5 vamos determinar o autoespaço V(5) segundo a equação matri- cial C.0.3. Assim, de [T − (5)I] · [X] = [0]. obtemos  2 1 13 0 1 6 2 1  C→C − (5)  1 0 00 1 0 0 0 1  C→C =  −3 1 13 −5 1 6 2 −4  C→C de onde  −3 1 13 −5 1 6 2 −4  C→C ·  xy z  =  00 0  E isso nos leva a resolver o sistema linear homogêneo −3x + y + z = 03x +−5y + z = 06x + 2y +−4z = 0 64 O sistema é posśıvel e indeterminado, com grau de liberdade igual a um, tomando y = α o conjunto solução V(5) pode ser escrito como V(5) = {(x, y, z) ∈ R3|x = y = α e z = 2α; α ∈ R}. Precisamos descobrir os vetores que geram V(5), como uma solução geral pode ser escrita como (α, α, 2α) então (α, α, 2α) = α(1, 1, 2) Iso significa que qualquer solução pode ser escrita como múltiplo do vetor {(1, 1, 2)}. Logo esse vetor forma uma base para V(5). Como temos um vetor na base de V(5), então a dimensão desse autoespaço associado ao autovalor λ2 = 5 é 1, ou seja, a multilpicidade geométrica de λ2 = 5 é 1. Que é igual a multiplicidade algébrica. Segue que T é diagonalizável. Além disso, {(1, 0,−3), (0, 1,−1), (1, 1, 2)} foram uma base de autovetores de T para o R3. De fato, essa é a base B procurada. Etapa 6 Tendo determinado uma base de autovetores é posśıvel construir a partir dos autovalores λi a matriz diagonal do operador T . Desse modo a matriz diagonal é −1 0 00 −1 0 0 0 5  3.4 Exerćıcios Exerćıcio 3.4.1 Para as funções abaixo a. Verificar se são transformações lineares; b. Em caso afirmativo, exibir a matriz da transformação linear; a. T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (0, y); b. T : R3 → R3 tal que T [(x, y, z)] = (0, y, 0); c. T : R2 → R3 tal que T [(x, y)] = (2x, 0, x + y); d. T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (x, 1− y); e. T : R3 → R2 tal que T [(x, y, z)] = (0, x + y + z); f. T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (x2, y); g. T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (1, y); h. T : R3 → R3 tal que T [(x, y, z)] = (x− z, 2x + y, z); i. T : R3 → R tal que T [(x, y, z)] = (z − x + 3y); j. T : R→ R2 tal que T [(x)] = (x, 2x); k. T : R3 → R2 tal que T [(x, y, z)] = (0, 0); 65 l. T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (0, 0). Exerćıcio 3.4.2 Dados os operadores lineares abaixo, verifique se são diagonalizáveis e, em caso afirmativo, exibir a matriz do operador na forma diagonal. a. T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (x + 2y, 3x + 2y); b. T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (−3x,−3x + 2y); c. T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (2x + y, x + 2y); d. T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (5x− y, 5y); e. T : R3 → R3 tal que T [(x, y, z)] = (x + y, x + y, z); f. T : R3 → R3 tal que T [(x, y, z)] = (x, 3y − 2z,−2y + 3z); g. T : R3 → R3 tal que T [(x, y, z)] = (−3x− 2z,−2y,−x− 3z); h. T : R4 → R4 tal que T [(x, y, z, w)] = (w, 0, 0, x); i. T : R4 → R4 tal que T [(x, y, z, w)] = (2x + 2y, 2x + 2y, 2z + 2w, 2z + 2w); 66 Apêndice B Cálculo do determinante de uma matriz Para calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 poddemos utilizar o método de Sarrus ou de Laplace. Seja uma [A] uma matriz quadrada de ordem três, isto é, a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33  . Pelo método de Sarrus, o determinante de [A] é a expressão a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 − a13a22a31 − a12a33a21 − a23a11a32 (B.0.1) Um método prático para escrevermos essa expressão é o seguinte escrevemos as duas primeiras colunas do lado direito da terceira coluna da matriz a11 a12 a13 a11 a12 ↘ ↘↙ ↘↙ ↙ a21 a22 a23 a12 a22 ↙ ↘↙ ↘↙ ↘ a31 a32 a33 a31 a32 −[a13a22a31] −[a12a33a21] −[a23a11a32]+[a11a22a33] +[a12a23a31] +[a13a32a21] Com isso somamos os produtos das diagonais da esquerda para direita e subtráımos os produtos das diagonais da direita para a esquerda. Pleo método de Lapalce devemos escolher uma linha ou uma coluna qualquer e a partir dos elementos da coluna ou linha escolhida faremos o seguinte: Vamos escolher a primeira coluna, assim o determinante de [A] é a expressão a11(−1)1+1[(a22a33)− (a23a32)]+a12(−1)1+2[(a12a33)−(a13a32)]+a13(−1)1+3[(a12a23)−(a13a32)], ou seja, a11([(a22a33)− (a23a32)] − a12([(a12a33) − (a13a32)] + a13[(a12a23) − (a13a32)]. Nesta última expressão fazendo os produtos indicados chegamos exatamente a expressão B.0.1. Enquanto o método de Cramer serve apenas para o cálculo do determinante de matrizes de ordem dois e o método de Sarrus serve apenas para o cálculo dos determinantes de ordem três, a vantagem 69 do método de Laplace está na aplicabilidade para o cálculo dos determinantes das matrizes de ordem maior ou igual a três. 70 Apêndice C Exerćıcios resolvidos 3.4.2 Exerćıcio Resolvido C.0.1 Seja T : R2 → R2 tal que T [(x, y)] = (x + 2y, 3x + 2y). Vamos diagonalizar a matriz de T . Etapa 1 Encontre a matriz do operador T com relação a base canônica do espaço vetorial R2, isto é, C2 = {(1, 0), (0, 1)}; i. Calcular as imagens de T aplicado nos vetores da base. T [(1, 0)] = (1, 3) = 1(1, 0) + 3(0, 1) = (1, 3)C2 T [(0, 1)] = (2, 2) = 2(1, 0) + 2(0, 1) = (2, 2)C ii. Escrever os vetores de coordenadas das imagens de T expressos na base C2 como colunas da matriz de T em relação a base C2.[ 1 2 3 2 ] C2→C2 Etapa 2 Forme o polinômio caracteŕıstico P(λ) de T a partir do cálculo do determinante det(T − λI), onde I é o operador identidade de U ; i. Primeiro temos que achar a matriz [T − λI][ 1 2 3 2 ] C2→C2 − λ [ 1 0 0 1 ] C2→C2 = [ 1− λ 2 3 2− λ ] C2→C2 ii. Formar o determinante de [T − λI], ou seja, o polinômio caracteŕıstico P(λ) de T 71 i. Calcular as imagens de T aplicado nos vetores da base. T [(1, 0)] = (−3,−3) = −3(1, 0) +−3(0, 1) = (−3,−3)C2 T [(0, 1)] = (0, 2) = 0(1, 0) + 2(0, 1) = (0, 2)C ii. Escrever os vetores de coordenadas das imagens de T expressos na base C2 como colunas da matriz de T em relação a base C2.[ −3 0 −3 2 ] C2→C2 Etapa 2 Forme o polinômio caracteŕıstico P(λ) de T a partir do cálculo do determinante det(T − λI), onde I é o operador identidade de U ; i. Primeiro temos que achar a matriz [T − λI][ −3 0 −3 2 ] C2→C2 − λ [ 1 0 0 1 ] C2→C2 = [ −3− λ 0 −3 2− λ ] C2→C2 ii. Formar o determinante de [T − λI], ou seja, o polinômio caracteŕıstico P(λ) de T det [ −3− λ 0 −3 2− λ ] C2→C2 = (−3− λ)(2− λ) = λ2 + λ− 6 = Assim, P(λ) = λ2 + λ− 6 Observação C.0.1 Para cálculo do determinante ver o Apêndice B. Etapa 3 Encontre todas as ráızes reais do polinômio caracteŕıstico de T . Se as ráızes não forem todas reais, então T não é diagonalizável; i. Encontrar as ráızes de P(λ) = λ2 + λ − 6, significa resolver a equação λ2 + λ − 6 = 0. Nesse caso, as ráızes são −3 e 2, ou seja, o autovalor λ1 = −3 e o autovalor λ2 = 2. Com relação a existência das ráızes, T é diagonaĺızável, pois todas ráızes são reais. Além disso a podemos afirmar com relação ao autovalor λ1 = −3 a multiplicidade algébrica é 1, e com relação ao autovalor λ2 = 2 a multiplicidade algébrica é 14. 4A multiplicidade algébrica de λi é o número de vezes que λi é raiz do polinômio caracteŕıstico. 74 Etapa 4 Encontre uma base para cada autoespaço associado ao autovalor λi, que é um espaço solução de um sistema linear homogêneo dado na forma matricial [T − λiI] · [X] = [0]. (C.0.2) Repetindo essse procedimento para cada autovalor devemos totalizar n autovetores. i. Para o autovalor λ1 = −3 vamos determinar o autoespaço V(−3) segundo a equação matricial C.0.3. Assim, de [T − (−3)I] obtemos [ −3− (−3) 0 −3 2− (−3) ] C2→C2 = [ 0 0 −3 5 ] C2→C2 de onde [ 0 0 −3 5 ] C2→C2 · [ x y ] = [ 0 0 ] E isso nos leva a resolver o sistema linear homogêneo{ −3x5y = 0 O sistema é posśıvel e indeterminado, com grau de liberdade igual a um, tomando y = α obtemos x = 53α, então o conjunto solução V(−3) pode ser escrito como V(−3) = {(x, y) ∈ R2|(x, y) = ( 53α, α); α ∈ R}. Precisamos descobrir o vetor que gera V(−3), como uma solução geral pode ser escrita como ( 53α, α) então ( 5 3 α, α) = α( 5 3 , 1) Iso significa que qualquer solução pode ser escrita como combinação linear do vetor {( 53 , 1)}. Logo esse vetor forma uma base para V(−3). Como temos um vetor na base de V(−3), então a dimensão desse autoespaço associado ao autovalor λ1 = −3 é 1, ou seja, a multilpicidade geométrica5 de λ1 = 4 é 1. Que é igual a multiplicidade algébrica. ii. Para o autovalor λ2 = 2 vamos determinar o autoespaço V(2) segundo a equação matri- cial C.0.3. Assim, de [T − (2)I] obtemos [ 1− (2) 0 3 2− (2) ] C2→C2 = [ −1 0 3 0 ] C2→C2 de onde [ −1 0 3 0 ] C2→C2 · [ x y ] = [ 0 0 ] E isso nos leva a resolver o sistema linear homogêneo{ −x = 0 3x = 0 5A multiplicidade geométrica é a dimensão do autoespaço V(λi) = ker(T − λiI) associado ao autovalor λi. 75 Resolvemos o sistema por escalonamento a apartir da matriz ampliada do sistema. As- sim,  −1 0 ... 0 −3 0 ... 0  ≡  1 0 ... 0 0 0 ... 0  O sistema é posśıvel e indeterminado, com grau de liberdade igual a um, tomando y = α obtemos x = 0, então o conjunto solução V(2) pode ser escrito como V(2) = {(x, y) ∈ R2|(x, y) = (0, α); α ∈ R}. Precisamos descobrir o vetor que gera V(2), como uma solução geral pode ser escrita como (0, α) então (0, α) = α(0, 1) Iso significa que qualquer solução pode ser escrita como combinação linear do vetor {(0, 1)}. Logo esse vetor forma uma base para V(2). Como temos um vetor na base de V(2), então a dimensão desse autoespaço associado ao autovalor λ2 = 2 é 1, ou seja, a multilpicidade geométrica de λ2 = 2 é 1. Que é igual a multiplicidade algébrica. Segue que T é diagonalizável6. Além disso, B = {( 53 , 1), (0, 1)} foram uma base de autovetores de T para o R2. De fato, essa é a base B procurada. Etapa 6 Tendo determinado uma base de autovetores é posśıvel construir a partir dos autovalores λi a matriz diagonal do operador T . Desse modo a matriz diagonal é[ 2 3 −1 1 1 ] B→B Exerćıcio Resolvido C.0.3 Seja T : R3 → R3 tal que T [(x, y, z)] = (x + y, x + y, z). Vamos diagonalizar a matriz de T . Etapa 1 Encontre a matriz do operador T com relação a base canônica C3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}; i. Cálcular as imagens de T aplicado nos vetores da base. T [(1, 0, 0)] = (1, 1, 0) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1) = (1, 1, 0)C3 T [(0, 1, 0)] = (1, 1, 0) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1) = (1, 1, 0)C3 T [(0, 0, 1)] = (0, 0, 1) = 0(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1) = (0, 0, 1)C3 6T não é diagonalizável se a multiplicidade geométrica for diferente da multiplicidade algébrica 76 E isso nos leva a resolver o sistema linear homogêneo{ y = 0 x = 0 Resolvendo o sistema por escalonamento: 0 1 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0  ≡  1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 ... 0  O sistema é posśıvel e indeterminado, com grau de liberdade igual a um, tomando z = α temos, necessariamente x = 0 e y = 0, logo o conjunto solução V(1) pode ser escrito como V(1) = {(x, y, z) ∈ R3|(x, y, z) = (0, 0, α); α ∈ R}. Precisamos descobrir os vetores que geram V(1), como uma solução geral pode ser escrita como (0, 0, α) então (0, 0, α) = α(0, 0, 1) Iso significa que qualquer solução pode ser escrita como múltiplo do vetor {(0, 0, 1)}. Logo esse vetor forma uma base para V(1). Como temos um vetor na base de V(1), então a dimensão desse autoespaço associado ao autovalor λ2 = 1 é 1, ou seja, a multilpicidade geométrica de λ2 = 1 é 1. Que é igual a multiplicidade algébrica. iii. Para o autovalor λ3 = 2 vamos determinar o autoespaço V(2) segundo a equação matri- cial C.0.3. Assim, de [T − (2)I]. obtemos  1 1 01 1 0 0 0 1  C3→C3 − (2)  1 0 00 1 0 0 0 1  C→C =  −1 1 01 −1 0 0 0 −1  C3→C3 de onde  −1 1 01 −1 0 0 0 −1  C3→C3 ·  xy z  =  00 0  E isso nos leva a resolver o sistema linear homogêneo −x + y = 0x− y = 0−z = 0 Resolvendo o sistema por escalonamento: −1 1 0 ... 0 1 −1 0 ... 0 0 0 −1 ... 0  ≡  1 −1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 0  79 O sistema é posśıvel e indeterminado, com grau de liberdade igual a um, tomando y = α temos x = α e, necessariamente, z = 0, logo o conjunto solução V(2) pode ser escrito como V(2) = {(x, y, z) ∈ R3|(x, y, z) = (α, α, 0); α ∈ R}. Precisamos descobrir os vetores que geram V(1), como uma solução geral pode ser escrita como (α, α, 0) então (α, α, 0) = α(1, 1, 0) Iso significa que qualquer solução pode ser escrita como múltiplo do vetor {(1, 1, 0)}. Logo esse vetor forma uma base para V(2). Como temos um vetor na base de V(2), então a dimensão desse autoespaço associado ao autovalor λ3 = 2 é 1, ou seja, a multi- lpicidade geométrica de λ3 = 2 é 1. Que é igual a multiplicidade algébrica.Segue que T é diagonalizável. Além disso, {(−1, 1, 0), (0, 0, 0), (1, 1, 0)} foram uma base de autovetores de T para o R3. De fato, essa é a base B procurada. Etapa 6 Tendo determinado uma base de autovetores é posśıvel construir a partir dos autovalores λi a matriz diagonal do operador T . Desse modo a matriz diagonal é 0 0 00 1 0 0 0 2  B→B 80 Índice Remissivo Anel, 19 definição, 19 leis de composição, 19 Anel abeliano ou comutativo, 19 Anel com unidade, 19 Autoespaço, 58 Autovalor, 58 Autovetor, 58 Base, 23 caracterização de uma, 24 coordenadas de vetores numa, 31 determinando uma, 29 mudança de, 32 Base canônica, 31 Base de um espaço vetorial definição, 28 Base ordenada, 31 Combinação linear, 23 Conjunto gerador, 23 caracterização de um, 24 Coordenadas de vetores em um espaço vetorial, 24 Corpo, 20 definição, 20 leis de composição, 20 Dependência linear, 25 Determinante cálculo do método de Laplace, 69 método de Sarrus, 69 Diagonalização de opradores lineares, 56 Dimensão de um espaço vetorial, 24 Equações lineares, 4 Espaços Vetoriais, 20 definição, 20 leis de composição, 20 Espaços vetoriais, 13 Grupo abeliano ou comutativo, 17 Grupos, 17 definição, 17 lei de composição, 17 Independência linear, 26 Linearmente dependente (L.D.) conjunto, 25 Linearmente independente (L.I.) conjunto, 26 Matriz de uma transformação linear, 45, 50 exemplos, 50 Multiplicidade algébrica, 60 Multiplicidade geométrica, 60 Operador linear, 47 Operadores lineares diagonalização, 56 Polinômio caractŕıstico, 60 Polinômios fatoração, 66 ráızes de um, 66 Sistemas de equações lineares análise das soluções de, 10 expressão matricial de, 7 interpretação geométrica, 4 resolução de, 4 método do escalonamento, 7 grau de liberdade de, 10 método da adição, 5 81