Cálculo I - Apostilas - Engenharia Elétrica Part1, Notas de estudo de Eletrotécnica

Baixe Cálculo I - Apostilas - Engenharia Elétrica Part1 e outras Notas de estudo em PDF para Eletrotécnica, somente na Docsity! Wikilivros, livre pensar e aprender Cálculo I Parabolóide Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Índice 1.Créditos............................................................................. 3 2.Prefácio............................................................................. 4 3.Conceitos básicos (funções)................................................. 5 4.Limites e Continuidade........................................................ 8 1. Limites........................................................................... 8 2. Continuidade................................................................... 17 5.Derivadas.......................................................................... 18 1. Introdução (coeficientes angulares)................................... 18 2. Definição........................................................................ 19 3. Diferenciabilidade............................................................ 21 4. Regras básicas................................................................ 21 5. Derivadas Algébricas simples............................................ 25 6. Diferenciação implícita...................................................... 27 6.Aplicações das derivadas...................................................... 28 1. Aplicações das derivadas.................................................. 28 2. Taxas............................................................................. 29 3. Máximo, mínimo e médio.................................................. 31 4. Análises de declive e concavidade...................................... 36 5. Esboço de gráficos........................................................... 38 7.Integrais............................................................................ 39 1. Integrais......................................................................... 39 2. Antiderivadas e antidiferenciais......................................... 41 3. Definições....................................................................... 42 4. Operações básicas........................................................... 42 5. Introdução a equações diferenciais.................................... 44 6. A integral indefinida......................................................... 48 7. A integral definida........................................................... 48 8.Análise de funções elementares I.......................................... 59 1 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Prefácio: Todos aprendemos, até este ponto, a matemática elementar, com ela podemos lidar com inúmeras de nossas necessidades mais corriqueiras do dia a dia. A partir de agora, teremos a oportunidade de dispor de recursos mais sofisticados. O cálculo, em conjunto com outras disciplinas, fazem parte do aprendizado da matemática de nível superior, ele é uma valorosa ferramenta de análise, muito utilizada em ciências exatas; esta ferramenta recebeu o nome cálculo, como forma abreviada da expressão "cálculo infinitesimal". Este livro explora a parte inicial do estudo de cálculo básico, presente nos cursos de nível superior mais voltados às ciências exatas e suas ramificações, com ele iremos navegar pelas análises algébricas e numéricas, pressupondo valores tão pequenos que podem ser considerados relativamente ínfimos, ao mesmo tempo iniciaremos as análises de quantidades desses elementos infinitesimais tão grandes que poderíamos chamá-los de populações gigantescas. Este livro utiliza as notações e as siglas mais encontradas nos livros didáticos de Cálculo no Brasil, algumas notações comuns em livros "on-line" seguem o padrão norte-americano e por isso estão fora dos objetivos desta publicação, que foi idealizada para ser instrumento de aprendizado para nativos da lingua portuguesa, alguns exemplos de notações são encontradas principalmente nas funções trigonométricas, como o seno que simbolizamos sen() enquanto que em outros livros verificamos sin(), ou tangente que notamos tg() enquanto que em outros vemos tan().Dividimos o estudo de Cálculo em três livros, que não são necessariamente indicados especificamente para as subdivisões do estudo feito nas universidades, embora tenhamos alguns cursos onde há uma divisão da disciplina em até 6 (seis) módulos. Para aproximar a seqüência dos tópicos à dos cursos mais conceituados, fiz uma pesquisa e adequei os índices ao cronograma destes cursos, para isso pesquisei universidades públicas e privadas no Brasil, obviamente, seria impossível adequar a seqüência dos tópicos para todos os cursos que se utilizam deste estudo, acredito que está próxima da média de adequação.Espero que tenhamos um bom proveito do conteúdo deste e dos outros livros sobre este tema. 4 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Conceitos básicos Definições iniciais: Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: Funções, no livro: Matemática Elementar, pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro. Função, domínio e imagem Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em , então tomamos e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em e portanto dizemos que: A é o domínio da variável . Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas , quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a , dizemos que: B é função de A. Sendo B obtido através das regras de : A é domínio da função . Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por , os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que: B é imagem da função . 5 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Extensões de domínios Observemos a expressão: Note que assim que atribuirmos valores a x , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raizes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de x , então teremos: Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado. Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: logx , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma: logx,x > 0 Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuidos à variável, chamamos este de extremo aberto. Notações O conjunto de números B dos quais dependem do conjunto A de onde temos , estabelecemos o par de números , ou simplesmente: Este é chamado de par ordenado. Sendo também a representação dos valores de , então podemos dizer que: Sendo o valor de quando definido pelas operações em . Faixas 6 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender então se tivermos teremos ; e para teremos ; finalmente, se teremos e vemos que o mesmo acontece, o que isto quer dizer? O que acontece é que quando aproximamos x de 6, y se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1, ou seja quando x se aproxima de 6 de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente também faz com que y alcance o número mais próximo de 1 possível, então dizemos que: se f(x) = y então, o limite de f(x)quando x tende a 6 é igual a 1. Isto é comumente representado, pela seguinte notação: Definição Seja a função f(x), onde , se é um número em seu domínio, existe um número δ, tal que: e sendo f(a), definido ou não, um número que tende a L, se existe um número ε, tal que: e quando diminuimos δ até que não seja mais possível distingüir de ,embora eles sejam infinitesimalmente diferentes, tenhamos um ε correspondente, então L é o limite de f(x) quando tende a . Adotamos a seguinte notação: E de forma geral definimos que: Se então quando 9 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Propriedades Teoremas: T1 - (Unicidade) Se e então: Demonstração: Proponhamos que: Logo teremos que admitir: havendo uma diferença: Da desigualdade triangular: Se tivermos um δ que seja englobado nas condições: Teremos observado que: Como podemos arbitrar ε, teríamos: fazendo Que é contraditório, portanto: 10 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender T2 - (Soma e diferença) Demonstração: Tomando: e , devemos , pela definição, provar que: Posto que: , , Podemos arbitrar: e pela desigualdade triangular: como: , logo: Temos como afirmar que a diferença também pode ser calculada da mesma maneira, pois as funções não estão restritas a valores positivos na demonstração acima. T3 - (Produto) Demonstração: Queremos verificar se: Admitamos que: 11 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender meio de definir o intervalo de exclusão dos números, podemos também, excluir certa faixa dos limites; se quisermos adotar apenas números positivos na análise podemos fazê-lo desta forma: , da mesma forma poderemos adotar apenas números negativos, com a seguinte restrição: , no primeiro caso dizemos que o limite da função é o valor da função para qual a mesma tende quando x se aproxima de a pela direita, no segundo caso dizemos que o limite da função é o valor da função para qual a mesma tende quando x se aproxima de a pela esquerda. Limite lateral pela direita Dizemos que , quando: Limite lateral pela esquerda Dizemos que , quando: Infinitos Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma resposta poética a respeito e de fato no sentido poético, o infinito é algo fascinante... Agora imagine um número absolutamente tão alto quanto é possível você conceber... Conseguiu? Pois bem este não é infinito, pois aqui, falaremos desse número como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto que jamais poderíamos atingir, é como se fosse um caminho sem fim, como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim. Desta forma é um número que só podemos representar como um limite... Então façamos um estudo de como representá-lo. Antes de mais nada pensemos qual a melhor maneira de aumentar sucessivamente o valor de uma função, isto é possível fazendo divisões por números menores que 1, ou seja se fizermos: 14 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender então poderemos dizer que Isto é o que chamamos de infinito matemático e a partir desta, a operação inversa é imediatamente dedutível: Este é um conceito importantíssimo na análise do cálculo e em diversos campos das ciências exatas, iremos nos aprofundar a partir deste conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos. Tendências infinitas Considere a função , o seu valor jamais ultrapassará f(x) = 1 quando tomamos valores de x maiores que 1, fazendo sucessivas aproximações vemos que: De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando levamos x para números muito altos, embora nunca alcance o valor 1, chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita. Podemos simbolizá-lo destas formas: ou 15 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender O mesmo pode acontecer quando aproximamos o valor de uma variável independente ao infinito negativo, pelo lado esquerdo da função, então podemos representá-la destas formas: ou Definição Seja L o número para qual uma função f(x) tende a se igualar quando a variável independente x ultrapassa o número N, chamamos o número L de limite lateral positivo no infinito se o definimos como: tal qual chamamos o número L de limite lateral negativo no infinito se o definimos como: Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função. Limites infinitos Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce vertiginosamente até zero, o que podemos fazer? Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível colocar qualquer valor. Adotamos ou , pois , como já definimos anteriormente. 16 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender podemos fazer: x2 = x1 + Δx e teríamos: Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta formado por um ponto: (x,f(x)) e outro estabelecido pela distância Δx, que nos fornece: (x + Δx,f(x + Δx)). Podemos, a partir desta equação, encontrar os valores de m e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuimos o Δx a equação se torna mais precisa, pois cada segmento da curva que é analisado se torna menor, logo temos condições de analizar mais segmentos da curva. Definição Imaginemos que para cada par de pontos tenhamos uma reta, com seu respectivo "m", como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar a declividade a cada ponto da curva... Vejamos o gráfico a seguir: 19 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Figura 2 A função f(x), expressa pelo gráfico, apresenta uma sinuosidade no intervalo entre "(x0,y0)" e "(x3,y3)", a função não apresenta nenhuma ruptura ou salto neste intervalo. Traçamos as retas "r1", "r2" e "r3", entre um ponto fixo: "(x0,y0)" e "(x3,y3)", "(x2,y2)" , "(x1,y1)" respectivamente, desta forma, podemos observar que "r1" possui uma inclinação maior que "r2" e esta possui uma inclinação maior que "r3", porém observamos ainda, que a reta "r3" apresenta uma forma similar ao segmento inicial da função, entre os valores 0 e "x0" no seu domínio. O que é importante saber é que os valores das inclinações das retas se aproximam de uma similaridade às inclinações nas regiões próximas ao ponto inicial "(x0,y0)" a medida que a distância entre os valores de "x" diminuem. A maneira de levarmos o valor da inclinação da reta o mais próximo da inclinação da função é diminuir a distância entre os pontos até o limite de sua aproximação, ou seja, se fizermos com que a distância entre cada ponto, tomado para o cálculo de m, em relação ao próximo, seja tão pequena que cada ponto se torne quase idêntico ao próximo, então teremos um m para cada ponto da curva, desta forma: Uma vez que temos um valor deste limite para cada valor de x, criamos uma nova função, que chamamos de , além disso a nova 20 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender função é obtida através dos resultados de f(x), esse artifício de criar uma função que nos dá a declividade em cada ponto de uma outra função é chamado de derivação, uma vez que criamos uma função que é derivada da primeira. A diferença entre os valores de x1 e x2, quando levada ao limite próximo de zero, também é chamada de diferencial "dx" e a diferença entre os valores de y1 e y2, quando levada ao limite diferencial "dx", é chamada de diferencial "dy": Por este motivo, esta operação é chamada de diferenciação, pois se refere à criação de variáveis diferenciais, neste caso dy e dx. Diferenciabilidade Para que as diferenciais e por conseqüência, a derivada de uma função em um determinado ponto possa existir, certas condições devem ser observadas: Em primeiro lugar, o limite da função no ponto deve existir, depois, a função deve existir no ponto e seu valor ser igual ao limite; isso nos lembra a definição de continuidade e de fato, quando a função pode ser diferenciada ela é contínua no ponto. O fato de funções derivadas serem contínuas se deve a existência do limite e do valor da função no ponto, uma vez que torna-se possível a existência do nestes casos. Portanto devemos verificar a continuidade de uma função para sabermos se esta é diferenciável. Regras básicas Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas partem do princípio fundamental da 21 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Depois que aplicamos os limites, resulta em: T10 - Natureza algébrica das diferenciais Seja dy e dx as difenciais de f(x) quando sua derivada é , Então: Se existe, suas diferenciais podem ser tratadas como duas variáveis com características operacionais algébricas. Demonstração: Pelo teorema da razão do limite: . O que nos dá a possibilidade de fazer: Desta forma, os operadores dy e dx são limites e podem ser operados como tal, de forma que, obedecendo às regras das operações algébricas dos limites, podem ser separados. T11 - Regra da cadeia A função composta nos dá a possibilidade de generalizar diversas funções, permitindo a sua simplificação, a sua derivada pode ser conseguida pela relação: Que pode ser verificada quase que imediatamente através das propriedades algébricas das diferenciais, de qualquer forma podemos demonstrá-la como segue: 24 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Para simplificar a interpretação do conteúdo, usaremos a notação de derivada em relação à variável dependente; nesta notação colocamos um D e um sobescrito da variável dependente, ou seja, o símbolo Dt(z) indica a derivada de z em relação a sua variável t. Adotando esta notação para as derivadas, temos: queremos Dx(y) e sabemos que , para isso teríamos: Quando ocorre que , pois as duas funções são contínuas e u depende de x, logo: então: Derivadas Algébricas simples Podemos deduzir, a partir das regras comuns e da definição, equações que determinam a derivada para as funções mais comuns, adiante temos uma amostra destas equações e suas demonstrações. 25 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender T12 - constante Seja a função f(x) = c, onde c é constante e portanto, independente de x, é demonstrável que sua derivada é nula, pois não existe variação do valor da função; Conforme constatamos: T13 - fator Seja a função , onde c é um fator constante e portanto, independente de x, é demonstrável que: T14 - Variável com expoente constante Seja a função f(x) = xn, onde n é uma constante positiva e , sua derivada é: Demonstração: Temos pela definição: 26 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Taxas A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total "x" de porções "T" em "n" recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida: A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes "n" e calculássemos o valor de "x", mantendo "T" constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa "T" é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos. Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial Si e um final Sf, além de um instante inicial tie um final tf, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto, que é: ou Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é 29 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender equivalente a fazer com que o valor de Δt se aproxime de zero: Isto não nos lembra algo conhecido? Exatamente, uma derivada; a velocidade medida a cada instante é uma taxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um e outro, então teremos o valor da velocidade para cada instante, tal qual teríamos se estivéssemos observando o velocímetro do carro... A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função "s" em função do tempo, depois podemos obter a derivada de "s" com relação a "t" e teremos: Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função s(t), todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em seguida. Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo: O que nos dá a aceleração instantãnea: ou Note que ao derivarmos a função s(t) duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma: 30 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada. Note que a derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva a zero, isto ocorre porque o grau do polinômio decresce até que reste apenas uma constante, a qual resulta em zero no último cálculo diferencial subseqüente. Máximo, mínimo e médio Considerando que uma função não constante deve ter um valor máximo e outro mínimo em um segmento de seu domínio, quais são as possibilidades de análise que teríamos com as suas derivadas, visto que estas expressam tendências da declividade da função? Vejamos o que podemos extrair das derivadas de uma função, que são expressões da declividade da curva que a representa e nos intui a possibilidade de antever o curso dos valores da função ao longo do domínio. Extremos de um intervalo Seja a função f(x) cujo domínio limitamos em [a,b], a menos que f(x) seja constante, (1) Há um numero n1 cujo seu correspondente na imagem f(n1) é menor que todos os outros no domínio. (2) Há um numero n2 cujo seu correspondente na imagem f(n2) é maior que todos os outros no domínio. 31 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender T16 - Teorema de Rolle Este teorema serve de base para outras demonstrações e observações, também sendo importante para conclusões ao longo do estudo. Observe o gráfico: Figura 3 Considerando uma função f(x) e um intervalo fechado [a,b], obedecendo as seguintes condições: I - f(x) é contínua em [a,b]; II - f(x) é derivável em (a,b); III - f(a) = f(b) = 0 Então é possível provar que existe pelo menos um número c no intervalo tal que: Em decorrência do fato que a função tem dois valores iguais para a e b, além de ser derivável, isto implica na existência de um número crítico c, entre estes dois pontos, visto que o teorema T15 demonstra este fato, além de afirmar que este extremo tem derivada nula, provamos 34 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender que o teorema é valido para . Por outro lado se f(x) = 0 a derivada de f(c) também é nula, visto que f(x) − f(c) = 0 quando o limite é alcançado, portanto: T17 - Teorema do valor médio para derivadas Tomemos dois números em um intervalo fechado [a,b], quando uma função f(x) é contínua neste intervalo temos pelo menos um número c, o qual projeta sobre a imagem da função um valor f(c) de forma que a sua derivada é igual ao valor da declividade da reta entre os pontos {[a,f(a)];[b,f(b)]}. A explicação deste fato é facilmente observada no gráfico de qualquer função contínua em um dado intervalo, uma vez que a curva não apresenta rupturas ao longo de seu traçado e entre os pontos há pelo menos uma sinuosidade simples ou uma reta, haverá uma progressão continuada da declividade de um ponto em direção à declividade do outro, neste caso a curva terá sempre que reproduzir valores de declividade de um extremo a outro, de forma que teremos inevitavelmente um ponto cuja reta tangente será paralela a reta definida pelos dois pontos citados. Algebricamente: Queremos concluir que onde m é o coeficiente angular da reta determinada pelos valores a,b e seus conseqüentes na imagem da função: f(a),f(b). teremos: 35 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Análises de declive e concavidade Uma interessante aplicação da derivada é a análise de tendências da função, o resultado desta derivada está ligado a declividade da reta "tangente ao ponto", uma vez que a tangente, nos dois primeiros quadrantes do plano cartesiano, apresenta uma distinção clara devido à mudança de sinal, isso possibilita uma boa gama de informações para a análise de seu comportamento e por conseqüência, da função que a originou. T18 - Teste da derivada primeira O coeficiente angular da reta que passa por um ponto da curva em uma função, nos revela uma tendência que varia conforme a tangente desta reta, tomando como referência o eixo x, quando a função é crescente os valores das derivadas para os mesmos, de x são sempre positivos, enquanto que quando a função é decrescente estes são sempre negativos. O que nos sugere o seguinte teste: Seja a função f(x) em um intervalo [a,b], dizemos que a função é crescente quando: Ainda podemos afirmar que, quando a função é decrescente: E finalmente, se a função não apresenta tendências, permanecendo inalterada até o limite do ponto: É possível provar o teorema, pela análise da definição da função derivada, da seguinte forma: Se f(x) é contínua, existe tal que: 36 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender negativa: ou vice versa, ela passa por um ponto de inflexão. Considerando o número crítico c, para uma função f(x), o ponto de inflexão é definido como aquele onde ocorre a inversão na tendência da declividade, ou seja, quando: ou Também é possível demonstrar que: O que torna possível identificar o número crítico do ponto de inflexão a partir da derivada segunda da função. Esboço de gráficos Podemos utilizar os conceitos aprendidos neste capítulo para fazer esboço de gráficos, a utilidade deste artifício se mostra muito útil na análise de grandezas físicas e químicas. É importante lembrar que os números críticos verificados com o teste da derivada primeira são diferentes dos conseguidos com a derivada segunda, podemos adotar uma notação indexada para identificá-los, assim temos: c1 para o primeiro caso e c2 para o segundo. Para esboçar o gráfico de uma função desconhecida podemos extrair as raizes e o valor da função quando x é nula, além disso podemos verificar os pontos em que a função apresenta números críticos, extraindo a derivada primeira, a derivada segunda e resolvendo as equações: e , verificando os pontos onde as derivadas não existem; a partir de então podemos verificar as tendências de crescimento ou decaimento entre nos intervalos entre os 39 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender números críticos, as raizes, pontos de inflexão e concavidades. Obviamente, os resultados numéricos em pontos onde não existem números críticos não fornecem precisão para uma avaliação de valores, porém para a análise do comportamento da função e, em alguns casos, na visualização de formas geométricas, este método é bastante útil. Integrais Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto. Uma breve introdução dos conceitos que detalharemos neste capítulo pode ser encontrada em: A Wikipédia possui o artigo: Integral. Antiderivadas e antidiferenciais Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma: Considere a função F(x) = f(x) + C cuja derivada , então dizemos que F(x) é a antiderivada de , a nossa primeira 40 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antidiferenciação, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível. Podemos então dizer: A antiderivação é o processo pelo qual operamos a derivada de uma função para encontrar a sua exata função primitiva. O que nos leva a conclusão que a antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar a constante que pertencia a função quando ela foi derivada, ou que deduções, a partir de suas características e dos fenômenos utilizados para sua formulação, possam fornecer a constante. A antidiferenciação, opera apenas os processos para dedução de um esboço da função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: f(x) + C. Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções: derivadas de , mesmo que , ao operarmos as funções derivadas utilizando a antidiferenciação teremos , que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes. Definições Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função y = f(x) + C, então temos: , o que nos leva a algo muito interessante: 41 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Portanto, pela análise da reversibilidade, é possível constatar que a adição de duas antidiferenciais pode ser operada distributivamente, o que atesta a regra que expomos. T23 - Variável com expoente constante (antidiferencial) Seja a função f(x) = xn onde n é constante, sua antidiferencial é: ; onde: Onde C é constante. Comprovação: T24 - Regra da cadeia para antidiferenciais Seja as funções f(u) e u = g(x), contínuas em seus domínios ou no intervalo a que se propõe a análise em questão. A antidiferencial da função composta f(u) com relação a x é: Onde C é a constante que define a primitiva. Comprovação: Uma vez que: u = g(x) , temos: 44 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender O que nos possibilita operar, por substituição: , obtendo: para definir a antiderivada, usamos a constante C: O que comprova a regra. Introdução a equações diferenciais Considerando a questão da indefinição criada pela diferenciação, o processo de antidiferenciação traz uma conseqüência indesejável para o processo de equacionamento de diferenciais. Quando uma equação diferencial é proposta, a constante de antidiferenciação faz com que o processo de resolução seja bastante prejudicado, o que exige que tenhamos técnicas especiais para tentar resolvê-la. Faremos agora uma breve introdução aos conceitos de equações diferenciais, porém, o estudo completo do tema demanda um aprofundamento maior por parte dos interessados, ao longo dos nossos estudos teremos meios para simplificar o processo, embora que a solução de muitas equações diferenciais quando não são impossíveis exigem muito esforço e dedicação. Diferenciais de primeira ordem Seja a equação , a sua derivada é expressa como: 45 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender sendo uma constante arbitrária, definida pelas características das deduções que originaram a equação. O que resulta na equação diferencial: Esta equação é denominada: Equação diferencial de primeira ordem, visto que é originada de uma derivada primeira, o que permite facilmente separar as variáveis diferenciais. Por outro lado, como meio para reverter o processo de diferenciação, fazemos: Com C constante; lembre-se que C é uma constante não definida, a constante original é . Pelo exposto deduzimos que a equação assumirá a forma: y = f(x) + C Porém, como C é uma constante indefinida, temos uma função ainda indefinida. Constante antidiferencial A constante resultante da indefinição na antidiferenciação é expressa na equação diferencial como observamos na seção anterior, para aumentar as possibilidades da análise, cosideremo-la como variável, ao fazer isto temos um comportamento interessante para a função resultante; quando atribuimos valores a esta variável temos uma equação para cada valor assumido pela mesma, se observarmos mais atentamente, descobriremos que o gráfico da função mantém a forma, porém varia a altura em relação ao eixo das abscissas (variável independente), ou seja, a equação antidiferencial fornece um conjunto de curvas, o que possibilita uma infinidade de valores. O que definiria a escolha de uma constante em particular? A constante definirá qual a curva que obedece o comportamento espelhado pelos números que compõem a curva a ser escolhida. De fato basta um par 46 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender O significado deste símbolo é facilmente compreendido: A variável i é chamada de índice, o número n é a quantidade de parcelas, ocorre que, ao substituir estes valores na expressão ai, fazemos de forma seqüencial, somando um valor ao anterior, como descrito na operação acima, o que resultará no valor final de U, pretendido na referida operação. Propriedades T25 - Constante com c constante. Comprovação: n vezes. T26 - Fator com c constante. Comprovação: 49 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender T27 - Adição Comprovação: T28 - Exclusão de termo antecedente Comprovação Definição da Integral de Riemann O conceito de integral está ligado à necessidade de encontrar a área de curvas, as abordagens tomadas para solucionar o problema do cálculo de áreas curvas encontram sempre o mesmo resultado. Para não nos extendermos muito, faremos uma explanação do processo chamado: Integral de Riemann, o qual é um dos mais conhecidos. Vejamos o gráfico abaixo: 50 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Integral de Riemann Figura 4 O gráfico mostra uma função sinuosa, se fizermos seções retangulares para imitar o contorno das curvas teremos uma maneira grosseira de calcular a área delimitada pela curva e o eixo x, uma vez que temos a possibilidade de aumentar a quantidade de retângulos, podemos aumentar a precisão dos nossos cálculos... Se fizermos com que o número de retângulos aumente numa tendência ao infinito, teremos o valor da área. Consideremos a função do gráfico: y = f(x), a sua integral entre os valores de x: a e b é: Chamamos o intervalo [a,b] de partição e simbolizamos como: Δ. Ao dividirmos o intervalo [a,b] em n "pedaços"(seções) temos a possibilidade de definir o tamanho de cada um, porém a regra de Riemann é mais flexível e estabelece que podemos ter pedaços de tamanhos diferentes, de forma que tenhamos apenas que estabelecer os valores de x tal que: . Uma vez que estabelecemos os valores dos x, podemos arbitrar um ponto intermediário entre eles para que seja o ponto onde definiremos o valor da função, este ponto será importante porque ele estabelecerá a altura do retângulo. O valor de x, que determinará o ponto da altura de cada retângulo é referenciado como (ξ), referenciamos estes pontos 51 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender T31 - Inversão dos limites Comprovação: Novamente tomando o intervalo [a,b], dividindo-o em n pedaços, teremos: Portanto Δx é fator determinante do sinal. Se tomarmos a integral no intervalo [a,b] e invertermos a sua posição no cálculo, teremos: Logo, tomando como Δx é igual a tomar como − Δx. O que comprova o teorema. T32 - Adição Comprovação: Sendo a integral: logo: O que comprova o teorema. 54 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender T33 - Seções complementares Sendo c constante e a < c < b: Comprovação: Tomando o intervalo entre a e c e fazendo a relação: e O Δ é um valor que pode ser atribuído às duas relações, portanto podemos fazer: Que é semelhante a propriedade da soma das áreas de dois objetos que formam um corpo maior, que costumamos usar na geometria e que prova o teorema. T34 - Valor médio Seja a seção [a,b] no domínio da função f(x), dizemos que M é o valor médio da função neste intervalo, sendo seu valor definido como segue: 55 Disponível sob Gnu Free Documentation license Wikilivros, livre pensar e aprender Comprovação O valor médio de uma função é expresso pela função abaixo: Onde vi representa um valor em particular. Sendo f(ξi) o valor da função para cada retângulo, podemos fazer a sua média da seguinte forma: Por outro lado, podemos fazer com que o n seja: logo: Uma vez que o Δx é um valor muito grosseiro, podemos encontrar o limite quando a norma da partição tende a ser nula, desta forma: O que comprova o teorema. T35 - Teorema fundamental do cálculo Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b], a sua integral definida 56 Disponível sob Gnu Free Documentation license