Baixe Calculo 3, Series Numericas e outras Resumos em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! 1 5. SÉRIES NUMÉRICAS Neste capítulo, vamos estender o conceito de adição, válido para um número finito de parcelas, à uma soma infinita de parcelas. 5.1: Definição e exemplos: Série geométrica e série de Dirichlet 5.1.1: Definições Definição 1.1: Dada uma sucessão de números reais ( ) INnnu ∈ , chama-se série de números reais ou série numérica à soma infinita ∑ ∞+ = =++++ 1 21 n nn uuuu . Os números ,, 21 uu chamam-se termos da série numérica e o n.mo termo nu é designado por termo geral da série. Para calcular, se possível, a série ∑ ∞+ =1n nu vamos considerar a seguinte sucessão: 11 uS = 212 uuS += 3213 uuuS ++= ... nn uuuS +++= 21 . 2 Definição 1.2: A sucessão ( ) INnnS ∈ chama-se sucessão de somas parciais ou sucessão associada à série. Definição 1.3: (i) Se a sucessão ( ) INnnS ∈ converge para S , isto é, IRSSnn ∈= +∞→ lim , diz-se que a série numérica ∑ ∞+ =1n nu é convergente, e então ∑ ∞+ = = 1n n Su . O número S é chamado soma da série. (ii) Se a sucessão ( ) INnnS ∈ é divergente, isto é, nn S+∞→lim não existe ou é infinito, diz-se que a série ∑ ∞+ =1n nu é divergente. Neste caso, a série não tem soma. 5.1.2: Série geométrica Definição 1.4: Uma série geométrica de 1º termo a e de razão r é uma série numérica da forma: +++=∑ ∞+ = − 2 1 1 araraar n n , com { }0\, IRra ∈ . 5 Nota: O recíproco do teorema anterior é falso. A série harmónica pode servir de contra-exemplo. Na prática, utiliza-se mais a negação do teorema anterior. Corolário 3.2: Teste da divergência ou Critério do n.mo termo Se 0lim ≠ +∞→ nn u , então a série numérica ∑ +∞ =1n nu é divergente. Exemplo 3.3: Estude a natureza da série ∑ ∞+ = +1 31 2 n n n . 5.4: Série de termos não negativos: critérios de Cauchy e de D’ Alembert Teorema 4.1: Critério de Cauchy ou da Raiz Sejam 0>nu e Lun nn = +∞→ lim . (i) Se 1<L , então a série ∑ ∞+ =1n nu é convergente; (ii) Se 1>L ou +=1L , então a série ∑ ∞+ =1n nu é divergente; (iii) Se −=1L , então não se pode concluir nada. Exemplo 4.2: Determine a natureza da série ∑ ∞+ = + 1 132 n n n n . 6 Teorema 4.3: Critério de D’Alembert ou da Razão Sejam 0>nu e Lu u n n n =+ +∞→ 1lim . (i) Se 1<L , então a série ∑ ∞+ =1n nu é convergente; (ii) Se 1>L ou +=1L , então a série ∑ ∞+ =1n nu é divergente; (iii) Se −=1L , então não se pode concluir nada. Exemplo 4.4: Determine a natureza da série ∑ ∞+ =1 !2n n n n n . 5.5: Séries alternadas: Critério de Leibniz Os critérios de convergência estudados nas secções anteriores, só podem ser aplicados a séries de termos não negativos. Nesta secção, estudaremos séries cujos termos são alternadamente positivos e negativos. Definição 5.1: Chama-se série alternada à série em que dois termos consecutivos têm sinais opostos, ou seja, é da forma ( )∑ ∞+ = − 1 1 n n n a ou ( )∑ ∞+ = +− 1 11 n n n a , com 0>na , INn∈∀ . 7 Teorema 5.2: Critério de Leibniz Se 0>na , a série alternada ( )∑ ∞+ = − 1 1 n n n a converge se verifica as condições seguintes: (i) 0lim = +∞→ nn a ; (ii) a sucessão ( ) INnna ∈ é decrescente, ou seja, 01 ≤−+ nn aa , INn∈∀ . Nota: Se a primeira condição do teorema anterior não se verifica, podemos concluir, pelo critério do n.mo termo, que a série é divergente. Exemplo 5.3: Determine a natureza da série ( )∑ ∞+ = − 2 ln 11 n n n . 5.6: Séries absolutamente convergentes e séries simplesmente convergentes Esta secção é dedicada ao estudo da convergência de séries numéricas com termos arbitrários. Teorema 6.1: Convergência Absoluta Se a série ∑ ∞+ =1n nu é convergente, então a série ∑ ∞+ =1n nu também é convergente.
