Analise de circuito, Notas de estudo de Engenharia de Telecomunicações

Baixe Analise de circuito e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Telecomunicações, somente na Docsity! Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 1 de 28 Eletrotécnica – AULA Nº 1 Introdução à Análise de Circuitos em Corrente Contínua 1. INTRODUÇÃO 1.1. PRODUÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Circuito Elétrico: caminho percorrido por uma corrente elétrica graças a uma diferença de potencial. Linha de Transmissão Equipamentos Elétricos GERADOR ESTAÇÃO ELEVADORA ESTAÇÃO ABAIXADORA ABV : diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B. E : Campo elétrico . B AB A V E dl= −∫ Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 2 de 28 1.2. Diagrama Básico de um Circuito Elétrico Convenção de sinais Dispositivo Elétrico + _ e i e v i B A B Av v v= − Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 5 de 28 2.3. RESISTOR IDEAL 2.3.1. Resistência CC de um fio cilíndrico, maciço e homogêneo CCR A α ⇒ CC R R A ρ= = 2.3.2. Relação v x i em um Resistor Ideal R v i v R i= ⋅ + _ + _ Convenção de Carga Rv i v R i= − ⋅ _ + Convenção de Gerador + _ Ri Ri m.][ Ω=ρ Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 6 de 28 2.3.3. Potência de um Resistor Ideal CÁLCULOS IMPORTANTES EM ENGENHARIA: divisas limitações de equipamentos POTÊNCIA é basicamente a taxa de variação de energia no tempo dp dt ω = em [J/s] ou [ W ] Como expressar POTÊNCIA em função de grandezas associadas ao circuito elétrico? d d dqp v i dt dq dt ω ω = = ⋅ = ⋅ em [watts] ou [ W ] Convenção de Carga potência consumida ivp ⋅+= Convenção de Fonte potência fornecida ivp ⋅+= 1 2 + − i v 1 2 + − i v “A potência associada a um elemento básico ideal é o produto da corrente que o atravessa pela tensão entre seus terminais” EBI EBI Na convenção de carga, a potência associada é a potência consumida. Na convenção de fonte, a potência associada é a potência fornecida. Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 7 de 28 Convenção de Carga ( ) 2p v i R i i R i= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ou 2v vp v i v R R = ⋅ = ⋅ = R i v R i= ⋅ + _ + _ R . i Potência consumida positiva + _ R i v R i= − ⋅ _ + R . i ( ) 2p v i R i i R i= ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ou 2v vp v i v R R ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Convenção de Gerador Potência fornecida negativa → resistor consome potência Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 10 de 28 Então ( ) 10 1 0 10 2 10 0 10 5 A A A A V V V V− − + = ⇒ − − + = Ou ainda 20 3 0 3 20A AV V− = ⇒ = ⇒ 6,67AV V= 5. Associação de resistores • SÉRIE ( ) 1 2 1 2 . . .n n eq e R i R i R i R R R i R i = + + = = + + ⋅ = ⋅ onde 1 2 1 n eq n j j R R R R R = = + + = ∑ R2R1 Rn i e Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 11 de 28 • Paralelo 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 n n n eq e e ei i i i R R R e e R R R R = + + = + + = ⎛ ⎞⎛ ⎞ = + + ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ onde 11 2 1 1 1 1 1n jeq n jR R R R R= = + + = ∑ R R2 Rn e i1 i2 in i Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 12 de 28 6. Análise CC de malhas e nós • Introdução à Teoria de Grafos GRAFO – conjunto de segmentos chamados ELEMENTOS e pontos chamados NÓS, os quais são terminais dos ELEMENTOS, ligados de maneira tal que os ELEMENTOS são incidentes somente aos NÓS. NÓ – componente terminal de um elemento. ELEMENTO – componente entre dois nós adjacentes. O número de elementos em um grafo vai ser designado por e. → Ativo – possui fonte de tensão ou de corrente. → Passivo – não possui fonte de tensão ou de corrente. R7 R1 R3 R2 R4 R5 R6 e3 e2 e1 A B C D E A B DC E 1 2 3 4 5 6 7 GRAFO GRAFO Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 15 de 28 • Correntes de malhas x Correntes nos elementos TEOREMA: Para uma dada árvore “T” de um grafo “G” com “n” nós e “e” elementos, existem exatamente “r = n - 1” ramos e “c = e – n + 1” cordas. COROLÁRIO: Num circuito elétrico existem “r” equações linearmente independentes relativas à LKC e “c” equações linearmente independentes relativas à LKT. ANÁLISE • Circuito elétrico com “e” elementos; • O circuito possui então “2e” incógnitas a determinar (“e” tensões e “e” correntes); • São necessárias “2e” equações para se determinar as “2e” incógnitas; • Cada elemento possui uma relação v x i, logo já se dispõe de “e” equações; • Pelo corolário acima existem “r = n – 1” expressões relativas à LKC; • Ainda pelo corolário acima existem “c = e – n +1” expressões relativas à LKT; • Total das equações disponíveis para resolver o circuito elétrico é de: t = e + r + c = e + (n – 1) + (e – n + 1) = 2e R1 R2 e R3 i1 i2 i3 Ia Ib 1 2 3 , , , a bI I Correntes de malha i i i Correntes nos elementos ⇒ ⇒ Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 16 de 28 Exemplo: Calcular as correntes e tensões em todos os elementos do circuito abaixo. As relações v x i, juntamente com as relações LKC e as relações LKT perfazem as 6 relações necessárias para se resolver o circuito acima. Desta forma 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 2 3 20 5 (1) 10 (2) 8 2 (3) 0 (4) 0 (5) 0 (6) v i v i v i i i i v v v v = −⎧ ⎪ = −⎪ ⎪ = −⎪ ⎨ + + =⎪ ⎪ − = ⎪ − =⎪⎩ Relações v x i (e = 3) 1 1 2 2 3 3 20 5 10 8 2 v i v i v i = −⎧ ⎪ = −⎨ ⎪ = −⎩ Relações LKT (c = 2) 1 2 2 3 0 0 v v v v − =⎧ ⎨ − =⎩ Relações LKC (r = 1) 1 2 3 0i i i+ + = 20 V 5 Ω 2 Ω 10 Ω 8 Vv1 v2 v3 i1 i3 i2 A B ramos: r = n – 1 = 2 – 1 = 1 (LKC) cordas: c = e – r = 3 – 1 = 2 (LKT) A B 1 2 3 Grafo elementos: e = 3 nós essenciais: n = 2 Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 17 de 28 Fazendo (1) – (2) e (2) – (3) e substituindo respectivamente em (5) e (6), consegue-se eliminar as variáveis relativas às tensões. Assim procedendo 1 2 2 3 1 2 3 20 5 10 0 (7) 8 10 2 0 (8) 0 (9) i i i i i i i − + =⎧ ⎪ − − + =⎨ ⎪ + + =⎩ Rearranjando estas equações, fica 1 2 2 3 1 2 3 5 10 20 (7) 10 2 8 (8) 0 (9) i i i i i i i − =⎧ ⎪ − + =⎨ ⎪ + + =⎩ Pela equação (9) vê-se que a corrente i1 é função das correntes i2 e i3. Assim 1 2 3 (10)i i i= − − Substituindo (10) nas equações (7) e (8) vem que ( )2 3 2 2 3 5 10 20 (11) 10 2 8 (12) i i i i i − − − =⎧⎪ ⎨ − + =⎪⎩ Rearranjando estas equações, fica 2 3 2 3 15 5 20 (11) 10 2 8 (12) i i i i − − =⎧ ⎨ − + =⎩ Ou ainda, dividindo por 5 a primeira e por 2 a segunda, vem que 2 3 2 3 3 4 (11) 5 4 (12) i i i i − − =⎧ ⎨ − + =⎩ Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 20 de 28 • Métodos das Correntes de Malhas (MCM) O método das correntes de malha utiliza as denominadas correntes de malhas básicas. Malhas básicas são malhas que contém apenas uma corda. Assim, no circuito anterior, o leitor pode perceber que existem duas cordas e, por conseguinte, vão existir apenas duas malhas básicas, conforme figura abaixo. Utilizando a LKT para as duas malhas básicas, vem que 1 1 2 2 2 1 20 5 10 10 0 (1) 10 2 8 10 0 (2) I I I I I I − − + =⎧ ⎨ − − − + =⎩ Rearranjando as equações, fica 1 2 1 2 15 10 20 (1) 10 12 8 (2) I I I I − =⎧ ⎨ − + = −⎩ Simplificando vem que 1 2 1 2 3 2 4 (1) 5 6 4 (2) I I I I − =⎧ ⎨ − + = −⎩ 20 V 5 Ω 2 Ω 10 Ω 8 V i1 i3 i2 A B ramos: r = 2 – 1 = 1 cordas: c = 3 – 1 = 2 nós: n = 2 elementos: e = 3 A B 1 2 3 Árvore I2 I1 I2 I1 Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 21 de 28 Multiplicando (1) por 3 e somando com (2) vem que 14 8I = ⇒ 1 2I A= O valor de I2 pode ser calculado a partir de (1) ou de (2). Assim 1 2 4 5 4 5(2) 6 6 II − + − += = ⇒ 1 1I A= Os valores das correntes nos elementos pode ser calculado simplesmente verificando que: 1 1 2 2 1 3 2 2 1 2 1 1 i I A i I I A i I A = =⎧ ⎪ = − = − = −⎨ ⎪ = − = −⎩ O leitor deve perceber que a solução deste circuito passou pela solução de um sistema de 2 equações e 2 incógnitas, enquanto para o método geral, utilizando apenas as relações v × i e as leis de Kirchoff, foi necessária a solução de um sistema de 6 equações e 6 incógnitas. A diferença fica ainda maior para circuitos elétricos associados a sistemas reais antes mencionados com a presença de centenas a milhares de elementos. As equações (1) e (2) podem ser colocadas na forma matricial, resultando 1 2 15 10 20 10 12 8 I I − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Estas equações podem ser escritas da forma 11 12 1 1 21 22 2 2 Laço Laço Laço R R I E ou R I E R R I E ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 22 de 28 O leitor pode perceber que a matriz das resistências de laço é formada da seguinte maneira: • Rii é a soma das resistências na malha ou laço i; • Rij é o valor da soma das resistências presentes nas malhas i e j tomada com sinal negativo; Por outro lado, o vetor das tensões de laço é formado da seguinte maneira: • Ei é a soma das fontes de tensões na malha ou laço i; • Métodos das Tensões dos Nós (MTN) O método das tensões dos nós utiliza as denominadas tensões de nó. Tensões de nó são diferenças de potencial de todos os nós do circuito elétrico em relação a um nó arbitrariamente eleito como referência. Desta forma, como no circuito exemplo existem apenas dois nós, elegendo o nó B como referência, vai existir apenas uma tensão de nó. Desta forma, haverá apenas uma equação a ser resolvida para se chegar à solução do circuito. Utilizando a LKC para o nó A vem que 1 2 3 0i i i+ + = 20 V 5 Ω 2 Ω 10 Ω 8 V i1 i3 i2 A B ramos: r = 2 – 1 = 1 cordas: c = 3 – 1 = 2 nós: n = 2 elementos: e = 3 A B 1 2 3 Árvore V1 V1 Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 25 de 28 Exemplo: Para o circuito abaixo, determinar a tensão V e a potência consumida pela resistência de 47 Ω, utilizando os métodos das tensões nodais e das correntes de malhas. Método das correntes de malhas (MCM) Aplicando o método vem que 1 1 2 2 2 1 27 47 200 47 0 200 47 27 460 47 0 I I I I I I − − − + =⎧ ⎨ − − − + =⎩ Rearranjando 1 2 1 2 74 47 200 47 74 260 I I I I − = −⎧ ⎨ − + = −⎩ i1 47 Ω 27 Ω 27 Ω A B C i2 i3 V I1 I2 V1 ramos: r = 2 – 1 = 1 ↔ LKC (MTN) cordas: c = 3 – 1 = 2 ↔ LKT (MCM) nós: n = 2 elementos: e = 3 D Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 26 de 28 Resolvendo 1 2 1 2 47 200 74 74 74 260 47 47 I I I I ⎧ − = −⎪⎪ ⎨ ⎪ − + = − ⎪⎩ 2 74 47 200 260 47 74 74 47 I⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( )2 2 274 47 200 47 260 74I− = − × + × 23267 28640I = − ⇒ 2 8,7665I A= − ( )1 2 47 200 47 2008,7665 74 74 74 74 I I= − = × − − ⇒ 1 8,2706I A= − A tensão V vai ser dada por ( )2460 27 460 27 8,7665V I= + = + × − ⇒ 223,306V V= A potência dissipada no resistor de 47 Ω vai ser dada por ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 47 2 2 47 2 47 1 2 2 247 8,2706 8,7665 47 0,4959 47 0,2459 11,557 p v i R i i R i R I I= ⋅ = ⋅ × = ⋅ = − = = − + = = ⋅ = Ou seja 11,557p W= Int. à Análise Circ. Corrente Contínua ® Clever Pereira 27 de 28 Método das tensões dos nós (MTN) Repetindo o circuito para melhor visualização, vem que Tomando o nó C (ou D) como referência e aplicando a lei de Kirchoff para as correntes para o nó A (ou B), vem que 1 1 1200 460 0 27 47 27 V V V− − + + = Rearranjando 1 1 1 1 200 460 27 47 27 47 27 V⎛ ⎞+ + ⋅ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Resolvendo 10,09535 21, 292V⋅ = ⇒ 1 223,306V V V= = i1 47 Ω 27 Ω 27 Ω A B C i2 i3 V V1 ramos: r = 2 – 1 = 1 ↔ LKC (MTN) cordas: c = 3 – 1 = 2 ↔ LKT (MCM) nós: n = 2 elementos: e = 3 D