Sinais Senoidais - Apostilas - Engenharia Eletrônica Part1, Notas de estudo de Eletrotécnica

Baixe Sinais Senoidais - Apostilas - Engenharia Eletrônica Part1 e outras Notas de estudo em PDF para Eletrotécnica, somente na Docsity! Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina Gerência Educacional de Eletrônica SINAIS SENOIDAIS: Tensão e Corrente Alternadas Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi Terceira Edição Florianópolis – Março, 2006. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 2 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi Versão 3.0 – 17 de março de 2006 NOTA DO AUTOR Esta apostila é um material de apoio didático utilizado pelo autor nas suas aulas das disciplinas ministradas na Gerência Educacional de Eletrônica do Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina (CEFET/SC). Este material não tem a pretensão de esgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado. Tem por objetivo facilitar a dinâmica de aula, com expressivos ganhos de tempo, além de dar uma primeira orientação e compreensão aos alunos sobre o assunto abordado. Este trabalho foi construído com base nas referências bibliográficas, citadas ao longo do texto, nas notas de aula e na experiência do autor na abordagem do assunto com os seus alunos. Em se tratando de um material didático elaborado por um professor de uma Instituição Pública de Ensino, são permitidos o uso e a reprodução do texto, desde que devidamente citada a fonte. O aluno deve desenvolver o hábito de consultar, estudar e, se possível, adquirir a Bibliografia Referenciada original para melhores resultados no processo de aprendizagem. Quaisquer contribuições, correções e críticas construtivas a este trabalho serão bem- vindas pelo autor. Agradeço a todos aqueles que fizerem uso deste material, em especial aos meus alunos, razão deste material e do meu trabalho. Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi mussoi@cefetsc.edu.br SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 5 A.6. TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA................................................................182 A.6.1. Transferência de Potência em Circuitos de Corrente Contínua.............................................182 A.6.2. Transferência de Potência em Circuitos de Corrente Alternada............................................182 A.6.3. Exercícios Propostos: .............................................................................................................183 A.8. FATOR DE DESLOCAMENTO E TAXA DE DISTORÇÃO HARMÔNICA ...............................................184 A9. INFORMAÇÕES RELEVANTES ..........................................................................................................185 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 6 1. TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS SENOIDAIS Uma forma de onda de um sinal de tensão ou corrente alternada é aquela onde a intensidade e a polaridade alteram-se ao longo do tempo. Em geral são sinais periódicos como as formas de onda apresentadas na figura 1.1 + - + - + - t t t Figura 1.1 – formas de onda alternadas e periódicas Uma Corrente Alternada (ICA) é aquela que inverte, periodicamente, o sentido no qual está circulando. Ela também varia a intensidade continuamente no tempo. Uma Tensão Alternada (VCA) é aquela que inverte, periodicamente, a polaridade da tensão. Já Tensão ou Corrente Alternada Senoidal é aquela cuja forma de onda é representada por uma senóide. Dizemos que é um sinal senoidal. A forma de onda periódica mais importante e de maior interesse é a alternada senoidal de tensão e de corrente, porque a energia gerada nas usinas das concessionárias e a maioria dos equipamentos usam tensão e corrente alternadas senoidais. A maior parte da energia elétrica consumida é gerada e distribuída na forma de tensão e corrente alternadas para os consumidores que são as residências, o comércio e, principalmente, as indústrias. A principal razão pela qual a energia elétrica gerada e distribuída em grande escala ser em tensão e corrente alternadas é que ela apresenta uma facilidade tanto na geração como na transformação dos níveis de tensão (elevação ou redução). Para transportar a energia a longas distâncias é necessário elevar a tensão a níveis que chegam a 750kV, para reduzir as perdas no transporte (principalmente por Efeito Joule). Nos centros de consumo a tensão é novamente reduzida e distribuída aos consumidores. Os motores de corrente alternada são construtivamente menos complexos que os motores de corrente contínua. Isto é uma grande vantagem pois, reduz custos e cuidados com a manutenção. Por isso são os mais baratos e os mais usados nos equipamentos. Outra importante razão é a característica típica de comportamento dos circuitos elétricos e seus elementos passivos (R, L e C) quando submetidos a sinais senoidais. O tratamento matemático permite que os mesmos teoremas de análise de circuitos de corrente contínua (CC) possam ser aplicados à análise de circuitos com sinais alternados senoidais. Além disso, os sinais senoidais de tensão e de corrente são muito estudados porque são, em muitos casos, a base para vários outros sinais. Isto quer dizer que muitos sinais podem ser analisados pela combinação de mais de um sinal senoidal. O objetivo desta apostila é apresentar o processo de geração da corrente alternada senoidal e especificar as suas características, parâmetros e terminologias, bem como processos matemáticos para análise do comportamento dos elementos passivos (resistor, capacitor e indutor) em circuitos de corrente alternada senoidal. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 7 2. GERAÇÃO DE CORRENTE ALTERNADA No estudo do Eletromagnetismo já foram vistos os princípios da Indução Eletromagnética. Para entender a produção de uma onda (sinal) senoidal devemos conhecer bem os princípios das tensões e correntes induzidas: 2.1. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA Quando a região onde um circuito elétrico se encontra apresenta uma variação de fluxo magnético, surge nesse circuito, uma corrente elétrica. Este fenômeno é chamado de indução eletromagnética. Esta corrente induzida circuila no circuito devido à uma diferença de potencial (tensão), chamada de força eletromotriz induzida (FEM), ou simplesmente, tensão induzida. A indução eletromagnética é regida por duas leis: Lei de Lenz e Lei de Faraday, já estudadas. A Lei de Faraday diz que a Fem (tensão) induzida média em um circuito é igual ao resultado da divisão da variação do fluxo magnético numa bobina com N espiras pelo intervalo de tempo em que ocorre, com sinal trocado. Ou seja, quanto mais o fluxo variar num intervalo de tempo, tanto maior será a tensão induzida. t Ne Δ ΔΦ⋅− = onde: e – força eletromotriz induzida (tensão induzida) [V] Δφ/Δt – taxa de variação do fluxo magnético no tempo [Wb/s] N – número de espiras. A Lei de Lenz diz que o sentido da corrente induzida é tal que origina um fluxo magnético induzido, que se opõe à variação do fluxo magnético indutor. c) Ímã se afastando N S Corrente I N S b) Ímã se aproximando N S Corrente I NSN S a) Ímã parado não induz corrente Corrente Nula ( I = 0 ) Figura 2.1.1 – Indução Eletromagnética Por exemplo, na figura 2.1.1 a aproximação do imã provoca um aumento do fluxo magnético perto da bobina. Conseqüentemente começa a circular, na bobina, uma corrente que cria um campo magnético com polaridade inversa ao do imã. O campo criado tenta impedir SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 10 N S Eixo Espira Terminais da Espira B a b Sentido de rotação Figura 2.2.1 – Gerador de Corrente Alternada Elementar: espira girando num campo magnético A figura 2.2.2(a) ilustra , passo a passo, a indução de uma corrente na espira do gerador de corrente alternada elementar da figura 2.2.1. Em t1 os condutores a e b estão se movimentando paralelamente ao fluxo magnético (com sentidos opostos). Como nenhuma linha de fluxo é cortada θ=0O=180O, nenhuma tensão ou corrente é induzida. No instante t2, o movimento dos condutores já corta as linhas de fluxo magnético em um determinado ângulo θ e uma tensão é induzida e esta proporciona uma corrente induzida com o sentido indicado, dado pela regra da mão direita. No instante t3 o movimento dos condutores corta as linhas de fluxo perpendicularmente (ângulo de 90o) e a variação do fluxo é máxima. A tensão induzida é máxima e, portanto, há o pico de corrente induzida. Em t4, o movimento dos condutores corta as linhas de fluxo magnético em um determinado ângulo e uma tensão menor é induzida. Como o ângulo é complementar a θ2 a tensão induzida é igual a do instante t2. Em t5 os condutores a e b estão novamente se movimentando paralelamente ao fluxo magnético (com sentidos opostos) e nenhuma tensão ou corrente é induzida. Neste ponto, a primeira meia volta da espira produziu a forma de onda de corrente induzida apresentada na figura 2.2.2(b). O eixo vertical indica a intensidade da corrente (ou da tensão) induzida em cada instante. O eixo horizontal indica os instantes de tempo ou o ângulo do movimento da espira no campo magnético. Como: θ⋅⋅=φ senAB com a variação do ângulo devido ao movimento de giro da espira no campo magnético, o fluxo φ tem uma variação senoidal e, portanto, como a tensão induzida depende da variação do fluxo, ela assumirá um comportamento também senoidal. Como a tensão e a corrente induzidas dependem da variação do fluxo e este varia de acordo com o seno do ângulo de incidência das linhas no condutor da espira (φ = B.A.senθ) devido ao movimento giratório da espira, a forma de onda resultante é periódica a cada volta (cíclica) e tem a forma senoidal. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 11 N S θ = 0o Δφ = 0 e = 0 Instante t1 N S θ ≠ 0o Δφ ≠ 0 e ≠ 0 Instante t2 N S θ = 90o Δφ = máx e máx Instante t3 N S θ ≠ 0o Δφ ≠ 0 e ≠ 0 Instante t4 N S θ = 0o Δφ = 0 e = 0 Instante t5 a b b b b b a a a a N N N S S S θ (a) t1 t2 t3 t4 t5 0o 90o 180o v(V) i (A) t (s) (b) Figura 2.2.2 – Geração de Corrente: (a) primeira meia volta da espira [1]; (b) forma de onda do sinal gerado. A figura 2.2.3 representa a segunda meia volta da espira. Nota-se que, do instante t5 para t6 a direção na qual o condutor corta o fluxo é invertida. Portanto, a polaridade da tensão induzida é invertida e, conseqüentemente, o sentido da corrente é alternado, formando, a partir daí, o semiciclo negativo da forma de onda, pelo mesmo processo anterior. A figura 2.2.4 indica a forma de onda senoidal produzida pelo giro de 360o (2.π rad) de um condutor de uma espira em um campo magnético. O eixo vertical indica a amplitude da tensão (FEM) induzida. O eixo horizontal pode representar o tempo que a forma de onda leva para completar um ciclo inteiro (período). Cada instante de tempo está relacionado com a posição angular do condutor no campo magnético. Quando o eixo horizontal indicar diretamente a posição angular em graus, chamamos de ângulo elétrico. A vantagem de se indicar o eixo horizontal em graus em vez de unidades de tempo é que os graus elétricos independem da velocidade com que a espira gira no campo magnético (e conseqüentemente da freqüência e do período). SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 12 S N S θ = 0o Δφ = 0 e = 0 Instante t5 N S θ ≠ 0o Δφ ≠ 0 e ≠ 0 Instante t6 N S θ = 90o Δφ = máx e = máx Instante t7 N S θ ≠ 0o Δφ ≠ 0 e ≠ 0 Instante t8 N S θ = 0o Δφ = 0 e = 0 Instante t9 a b a a a a b b b b N N N S S (a) 180o 270o 360o t5 t6 t7 t8 t9 v(V) i (A) t (s) (b) Figura 2.2.3 – Geração de Corrente: (a) segunda meia volta da espira [1]; (b) forma de onda do sinal gerado. A corrente alternada resultante do processo de indução magnética, no gerador estudado, tem a forma senoidal, isto é, a corrente varia no tempo periodicamente tanto em intensidade como em sentido, a cada 360o, como indica a figura 2.2.5. O mesmo ocorre para a FEM induzida: uma tensão que varia periodicamente, em intensidade e polaridade. A amplitude da tensão e da corrente induzidas nas bobinas depende: • do número de espiras das bobinas rotativas; • da velocidade na qual as bobinas se movimentam; • da densidade do fluxo do campo magnético. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 15 Nf4e ⋅⋅φ⋅−= A figura 2.3.1 mostra dois geradores com o campo magnético girante no rotor e a armadura fixa no estator. O primeiro apresenta 8 pólos e o segundo 2 pólos. Como ambos giram a mesma velocidade, o gerador de mais pólos produz um sinal de maior freqüência do que o outro. Assim, para uma dada freqüência desejada (como 60Hz, por exemplo), um gerador de mais pólos pode girar a uma velocidade menor. Gerador de 8 pólos Gerador de 2 pólos Geradores de 8 e de 2 pólos girando a mesma velocidade Figura 2.3.1 – Número de pólos magnéticos influencia a freqüência da tensão gerada. Nos circuitos elétricos, fonte de tensão alternada senoidal e fonte de corrente alternada senoidal são representadas como mostra a figura 2.4.2. Na convenção adotada, a polaridade da tensão e o sentido da corrente indicado se referem ao semiciclo positivo. ~ v(t) ~i(t) + - + - + Figura 2.4.2 – símbolo e convenção para polaridade de fontes de tensão e de corrente alternadas senoidais. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 16 2.4 - GERADORES DE CORRENTE ALTERNADA A figura 2.4.1 apresenta as partes essenciais de um gerador de corrente alternada elementar. É chamado de elementar porque possui apenas uma espira. Figura 2.4.1 – Gerador CA. A espira em movimento é conectada à carga através de anéis coletores e escovas [2]. Um gerador real consiste de muitas espiras em série e em paralelo formando conjuntos de bobinas. O conjunto das bobinas num gerador é chamado enrolamento, que é montado em torno de um núcleo de aço silício (material ferromagnético) e que constitui a chamada armadura, onde é induzida a força eletromotriz (tensão). O campo magnético produzido no gerador da figura 2.4.1 é criado por um ímã permanente. Nos geradores comerciais, o campo magnético é criado por um eletroímã alimentado por uma fonte de corrente contínua. O rotor é a parte que gira. O estator é a parte que permanece estacionária. Nos geradores de corrente alternada a armadura pode estar no rotor ou no estator Nos geradores de corrente alternada de grande potência, encontrados nas usinas, a armadura é fixa no estator e o campo magnético é que gira em torno delas, como mostra a figura 2.4.2 e também a figura 2.3.1. Como há um movimento relativo entre elas, há a indução eletromagnética. Figura 2.4.2 – Gerador de Corrente Alternada de Pólos Girantes e Armadura Estacionária. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 17 No gerador CA de armadura giratória o sinal CA gerado é levado à carga através de anéis coletores e escovas deslizantes, como mostra a figura 2.4.1. A armadura giratória é encontrada somente em alternadores de baixa potência devido à limitação de corrente nos anéis coletores e escovas. O gerador CA de campo giratório tem o enrolamento de armadura estacionário e o enrolamento de campo girante no rotor (o campo magnético é criado por bobinas – eletroímãs). A vantagem da armadura estacionária é que a tensão gerada pode ser conectada à carga diretamente, sem necessidade de anéis coletores e escovas. Isso possibilita geração de grandes níveis de tensão e de corrente (alta potência), pois os anéis e escovas só permitem operação em baixas tensões e correntes. O estator consiste de um núcleo de ferro laminado com os enrolamentos da armadura embutidos neste núcleo, como mostrado na Figura 2.4.3. O núcleo é a armadura do estator. Núcleo Laminado Armadura do Estator Enrolamentos da armadura Figura 2.4.3 – Armadura do Estator de um gerador de corrente alternada. Todos os geradores, grandes ou pequenos, de corrente alternada ou de corrente contínua, requerem uma fonte de potência mecânica para girar seus rotores. Esta fonte de energia mecânica é chamada de fonte primária. Fontes primárias são divididas em duas classes: para gerador de alta velocidade e baixa velocidade. Turbinas a Vapor e a Gás são fontes primárias de alta velocidade, enquanto máquinas de combustão interna (como motores a explosão), turbinas hidráulicas em quedas de água e turbinas eólicas (hélices) são consideradas fontes primárias de baixa velocidade. O tipo de fonte primária tem um papel importante no projeto de alternadores, desde que a velocidade à qual o rotor é girado determina certas características de construção do alternador e operação. A figura 2.4.4 mostra uma turbina hidráulica acionando um gerador. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 20 3. PARÂMETROS DA FORMA DE ONDA DA TENSÃO E DA CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL Para conhecermos corretamente um sinal de tensão e de corrente alternadas e senoidais, precisamos estudar os parâmetros da forma de onda senoidal. Alguns destes parâmetros têm significado geral (para a matemática e a física, por exemplo), mas quando estudados em eletricidade têm sentido específico. A Forma de Onda é a curva descrita por uma quantidade (como tensão ou corrente) em função de alguma variável como tempo, posição, ângulo, etc. Essa quantidade assume um valor (amplitude) da forma de onda num determinado instante, chamado Valor Instantâneo, geralmente representado por uma letra minúscula (v ou i, por exemplo). O Valor de Pico (Amplitude Máxima) é o máximo valor da forma de onda medido a partir de seu valor zero (eixo y) e geralmente é representado em letra maiúscula (VP ou IP, por exemplo). Esses e outros parâmetros importantes das formas de onda senoidais serão estudados neste capítulo. As tensões e correntes elétricas alternadas ou são puramente senoidais, ou podem ser decompostas em uma série de componentes puramente senoidais que compõem o chamado espectro de freqüências do sinal, conhecido como harmônicos. Esta série de sinais é conhecida como Série de Fourier e será estudada posteriormente. Portanto, conhecermos o valor médio, o valor eficaz, o valor de pico, a freqüência e a fase de uma senóide é muito importante para o estudo do comportamento energético das tensões e correntes elétricas. 3.1. VALOR DE PICO: Ao conjunto de valores positivos e negativos de uma sinusóide chamamos de ciclo, que no caso do gerador elementar de tensão e corrente alternada, estudado no capítulo anterior, corresponde a uma volta completa da espira no campo magnético. O Valor de Pico é a amplitude da forma de onda que corresponde ao máximo valor no eixo vertical. O máximo valor da corrente é a Corrente de Pico (Ip) e o máximo valor da tensão é a Tensão de Pico (Vp), como indica a figura 3.1.1. O Valor de Pico a Pico de tensão e corrente (Vpp e Ipp) é o valor correspondente entre o pico superior (amplitude máxima positiva) e o pico inferior (amplitude máxima negativa ou vale) e é exatamente o dobro do valor de pico numa forma de onda senoidal, pois esta é simétrica. ppp V2V ⋅= SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 21 i (A) t (s) Ip T T/2 Ipp 0o 180o 360o α (o, rad) (a) v (V) t (s) Vp T T/2 Vpp 360o 180o 0o α(o. rad) (b) Fig.3.1.1 – Formas de onda: (a) da corrente e (b) da tensão em função do tempo e os seus parâmetros. 3.2. PERÍODO (T): É o tempo necessário para a ocorrência de um ciclo completo de uma função periódica, como mostra a figura 3.1.1. Com relação ao gerador elementar estudado no capítulo anterior, Período (T) é o tempo necessário para a espira dar uma volta completa, ou seja, percorrer 360o (2.π rad). A unidade do Período é o segundo (s). 3.3. FREQÜÊNCIA (f): A velocidade na qual os ciclos são produzidos é chamada freqüência. É o número de ciclos por unidade de tempo (a cada segundo). Relacionando, obtemos: 1 ciclo1 Período (T) 1 segundo X ciclos/segundo = FREQÜÊNCIA, f portanto: SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 22 T x f = 1 x 1 T 1f = No Sistema Internacional (SI) a unidade da Freqüência, ciclos por segundo, é chamada Hertz1 (Hz). Assim, um Hertz significa um ciclo completado em um segundo A freqüência da rede elétrica comercial brasileira é 60Hz, assim como nos Estados Unidos, enquanto que nos países vizinhos da América Latina e na Europa a freqüência é 50Hz. Sinais com freqüências entre 3kHz e 300GHz estão na faixa da chamada Rádio-freqüência e podem se propagar no espaço. As freqüências audíveis para o ser humano estão na faixa de 15Hz (sons graves) a 20kHz (sons agudos). O chamado Espectro de Freqüências está apresentado no anexo A.4, no final deste trabalho. 3.4. FREQÜÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR (ω): Do estudo da matemática, sabemos que o valor de Pi (π) é uma constante dada pela razão do perímetro da circunferência pelo seu diâmetro: 141592654,3 D C ==π Assim, o perímetro (comprimento) da circunferência pode ser dado por: R2C ⋅π⋅= O Radiano é uma unidade de medida de ângulo definida por um quadrante de círculo onde a distância percorrida na circunferência (arco) é igual ao raio do círculo, como mostra a figura 3.4.1. Essa relação fornece: 1rad = 57,296o 2π rad = 6,28 rad = 360o R R 1 radiano 57,296o Figura3.4.1 – radiano como medida de ângulo. Para fazermos a conversão de graus para radianos usamos a relação: graus 180 Radianos ×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π= 1 Heinrich Rudolph Hertz: físico e professor (Alemanha, 1857-1894), pesquisou tensões e correntes alternadas e seus efeitos nos elementos passivos, ondas eletromagnéticas e propagação. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 25 α(o, rad) 360o 2π 180o 1π +Amax -Amax 0o 0π f(α) Figura 3.5.1 – forma de onda para uma função senoidal Os gráficos de uma forma de onda senoidal de tensão e corrente, como os da figura 3.1.1, podem ser expressos matematicamente no chamado domínio do tempo, onde o valor da tensão e corrente são função do instante de tempo (t), e no chamado domínio angular, onde o valor da tensão e corrente são função da posição angular da espira no campo magnético no caso do nosso gerador elementar de corrente alternada (figuras 2.2.2, 2.2.3 e 2.2.4). Em um período ou ciclo completo (360o), α=2πrad. Podemos relacionar: 2π ⎯ 1T α ⎯ t desenvolvendo: ttf2 T t2 ⋅ω=⋅⋅π⋅= ⋅π⋅ =α então, a posição angular α pode ser dada por: t⋅ω=α A posição angular (ω.t) é dada pelo produto da freqüência angular (ω) pelo instante de tempo (t), e nos fornece o ângulo no qual a espira se encontra: Podemos verificar que o produto da freqüência angular ω (rad/s) pelo instante de tempo(s) é mesmo um ângulo pela relação das unidades: rads s rad =⋅ Como a tensão é senoidal e é função do tempo, podemos expressar a tensão a cada instante através da função matemática de tensão instantânea. 3.5.1. Tensão Instantânea: Para uma senóide o valor da tensão é expresso em função do ângulo α, dado pela posição angular da espira no campo magnético: )sen(V)(v p α⋅=α SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 26 O valor instantâneo de uma grandeza senoidal é o valor que essa grandeza assume num dado instante de tempo considerado. Assim, o valor da tensão v num dado instante de tempo t pode ser dado pela função senoidal: ( )tsenV)t(v p ⋅ω⋅= onde: v(t) – tensão instantânea (V) Vp - tensão de pico (V); ω - freqüência angular (rad/s); t – instante de tempo (s). Exemplo 3.5.1: Esboce o gráfico tensão x tempo para a tensão instantânea v(t)= 10.sen(10.t). Solução: da função obtemos: Vp = 10V ω = 10rad/s Como: f2 ⋅π⋅=ω então, 59,1 2 10 2 f = π⋅ = π⋅ ω = f = 1,59Hz Assim: 628,0 59,1 1 f 1T === T = 628ms Fazendo a variável independente t assumir valores desde 0 até T = 628ms, podemos calcular a posição angular ω e a tensão instantânea correspondente e traçar a forma de onda. Para tanto é necessário determinarmos os instantes mais significativos: dividindo 628ms por 8 intervalos (poderíamos utilizar mais intervalos, para maior precisão), obtemos o valor 78,5ms para cada intervalo. Assim Para t=0s: v(0)=10sen(10.0)=0 Para t=78,5ms: v(0,0785)=10sen(10.0,0785)=7,09 Fazendo o mesmo procedimento para outros intervalos de tempo obtemos a tabela 3.5.1 que dará origem à forma de onda da figura 3.5.2. tempo t (s) posição angular ω.t (rad) tensão instantânea v(t ) (V) 0,00 0,00 0,00 0,0785 0,785 (π/4) 7,09 0,157 1,57 (π/2) 10,0 0,235 2,35 (3π/4) 7,09 0,314 3,14 (π ) 0,00 0,392 3,92 (5π/4) -7,09 0,471 4,71 (3π/2) -10,0 0,549 5,49 (7π/4) -7,09 0,628 6,28 (2π ) 0,00 Tabela 3.5.1 – exemplo 3.5.1 0 0,16 0,31 0,47 0,63 v (V) t (s) 10 5 -10 -5 Figura 3.5.2 – forma de onda para o exemplo 3.5.1 3.5.2. Corrente Instantânea: Considerando que a corrente senoidal também é função do tempo, podemos representar, matematicamente, a corrente instantânea da seguinte forma: ( )tsenI)t(i p ⋅ω⋅= onde: Ip - corrente de pico (A); ω - freqüência angular (rad/s); t – instante de tempo (s). Exemplo 3.5.2: Considere a forma de onda da figura 3.5.3 para obter a função matemática que a descreve. t(μs) 50 25 +20 -20 0 i(mA) Figura 3.5.3 – forma de onda para o exemplo 3.5.2. Solução: analisando a forma de onda da figura 3.5.3 obtemos: T = 50μs f = 1/T = 20kHz ω = 2πf = 125663,7rad/s SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 30 α(o, rad) 360o 2π 180o 1π +Vp -Vp 0o 0π Vmédio Área + Área - Vméd,π 63,7%Vp Figura 3.6.4 – função senoidal. 3.7. VALOR EFICAZ O valor eficaz de uma função representa a capacidade de produção de trabalho efetivo de uma grandeza variável no tempo entre as excursões positivas e negativas de uma função. Matematicamente, o valor eficaz de uma função discreta é sua média quadrática, dada pela raiz quadrada do somatório dos quadrados dos valores dos eventos dividido pelo número de eventos: ( ) n v V n 1i 2 i ef ∑ == Para uma função periódica, o valor eficaz pode ser dado pelo cálculo da média quadrática através do uso da integral: ∫⋅= f i t t 2 ef dt.)t(vT 1V Para a função periódica senoidal da figura 3.7.1, o valor eficaz é: =ω⋅ω⋅ π =ω⋅ω⋅ π =ωω⋅ ω =⋅= ∫∫∫∫ ππω ω 2 0 2 2 p 2 0 22 p t t 2 t t 2 ef td)t(sen2 V td)t.(senV 2 1td.)t(v T 1dt.)t(v T 1V f i f i =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +− π − π π =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ω− ω π = π 4 0cos 2 0 4 4cos 2 2 2 V 4 t2cos 2 t 2 V 2p 2 0 2 p 2 V 2 V 2 2 2 V p 2 p 2 p ==⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ π π = p p ef V707,02 V V ⋅== SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 31 O valor eficaz corresponde à altura de um retângulo de base igual a um semiciclo e área equivalente a esse semiciclo, como mostra a figura 3.7.1. Portanto, o valor eficaz corresponde a um valor contínuo de 70,7% do valor de pico de uma senóide; α(o, rad) 360o 2π 180o 1π +Vp -Vp 0o 0π Valor Eficaz 0,707Vp Figura 3.7.1 – valor eficaz de uma senóide. No estudo de circuitos com tensão e corrente alternadas senoidais é importante entendermos o conceito físico de valor eficaz. Para entendermos o significado físico do valor eficaz, analisaremos a potência elétrica fornecida a um resistor, tanto em corrente alternada como em corrente contínua, como mostram os circuitos da figura 3.7.2. VCC ICC RPCC ~ v(t) i(t) RPCA Figura 3.7.2 - Fontes de Tensão Contínua e Alternada alimentando um mesmo resistor e fornecendo a mesma potência média Qual seria a tensão e a corrente alternada que fariam com que o resistor R dissipasse a mesma potência em CA que a dissipada em CC? Se fizermos isso na prática, verificaremos que o valor de tensão e corrente contínua a ser aplicado corresponde ao valor eficaz de tensão e de corrente alternadas. Como vimos, esse valor é matematicamente dado pela média quadrática da função. Para um sinal senoidal pode ser calculado a partir do seu valor de pico através da relação: p p ef V707,02 V V ⋅== O mesmo conceito também é válido para o valor eficaz de corrente: p p ef I707,02 I I ⋅== SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 32 Como mostra a figura 3.7.3, o valor da tensão eficaz ou da corrente eficaz de uma forma de onda é o valor matemático que corresponde a uma tensão ou corrente contínua constante que produz o mesmo efeito de dissipação de potência numa dada resistência. O valor da tensão eficaz ou da corrente eficaz é o valor que produz numa resistência o mesmo efeito que uma tensão/corrente contínua constante desse mesmo valor. Para a rede elétrica comercial sabemos que o valor da tensão eficaz é 220V/60Hz, o que corresponde a um valor de pico de: V1,311220707,0V2V efp =⋅=⋅= Na prática, o que se tem na rede elétrica CA é um sinal senoidal de 60 ciclos por segundo (60Hz), cuja tensão varia a todo instante desde +311,1V a –311,1V, passando por zero a cada meio ciclo. A tensão eficaz de 220V é o valor correspondente a uma tensão contínua constante que produziria o mesmo efeito da rede CA numa dada resistência, como um chuveiro elétrico, por exemplo. Um sinal senoidal de tensão/corrente alternada está sempre variando e, portanto, o valor eficaz é apenas uma referência matemática. t ωt 2π 1π +Vp -Vp 0π Tensão Contínua que fornece a mesma potência ao resistor 70,7%Vp v(t) TENSÃO EFICAZ Figura 3.7.3 - A tensão eficaz é equivalente a uma tensão contínua que produz o mesmo efeito numa resistência. Observações: • O valor eficaz também é conhecido como Valor RMS, do inglês root mean square (valor quadrático médio); • Os instrumentos comuns de medição em corrente alternada (voltímetros, amperímetros e multímetros) fornecem valores eficazes somente para sinais senoidais; • Para medir o valor eficaz de uma forma de onda de tensão (ou de corrente) não perfeitamente senoidal deverá ser usado um voltímetro (ou amperímetro) mais sofisticado, conhecido como True RMS (Eficaz Verdadeiro) que é capaz de fazer a integração da forma de onda e fornecer o valor eficaz exato para qualquer forma de onda. • Para uma forma de onda contínua constante (de tensão ou corrente, por exemplo) o valor eficaz é igual ao valor médio. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 35 i(t) = Ip . sen (ωt + θΙ) Observação: Esta representação é chamada forma trigonométrica. Podemos dizer que o ângulo de fase inicial θ é o ângulo α da posição angular no qual inicia um semiciclo positivo da forma de onda senoidal, com sinal trocado. θ = - α As figuras 3.9.3, 3.9.4 e 3.9.5 ilustram essa conclusão. α Figura 3.9.3 - Semiciclo positivo começa em +α=-θ: v(t) = Vp.sen(ω.t-θ) – atrasada. α Figura 3.9.4 - Semiciclo positivo começa em -α=θ: v(t) = Vp.sen(ω.t+θ) – adiantada 90o cos(α) sen(α) α Figura 3.9.5 - Semiciclo positivo começa em α=-90o: v(t) = Vp.sen(ω.t+90o) = VP.cos(ω.t). As formas de onda podem estar: • Em fase: quando as formas de onda cortam o eixo x no mesmo ponto; • Defasadas: quando as formas de onda cortam o eixo x em pontos diferentes. E ainda: • Adiantada: semiciclo positivo começa à esquerda da origem; • Atrasada: semiciclo positivo começa à direita da origem; SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 36 • Defasagem: diferença entre os ângulos de fase de duas senóides. Observação: os termos “adiantada” e “atrasada” só podem ser aplicados para comparar fases de formas de onda de mesma freqüência. Por convenção, o ângulo correspondente à defasagem angular é dado em graus, como indica a figura 3.9.3, apesar de a posição angular ωt ser dada em rad/s. Portanto, deve-se ter o cuidado de se converter as unidades quando alguma operação matemática dessa expressão for necessária. Posição Angular: ângulo em radianos Defasagem Angular: ângulo em graus v1(t) = 200.sen (ωt + 45o) i2(t) = 15,0.sen (ωt - 90o) Figura 3.9.3 – convenção para representação do ângulo de fase na expressão trigonométrica. Exemplo 3.9.1: Determine a defasagem entre os sinais: v1(t)= 100.sen(100t) ⇒ tensão tomada como referência (sem fase inicial) v2(t)= 40.sen (100t – 60o) ⇒ tensão v2 atrasada 60o em relação a tensão v1: φ = θ2- θ1 = -60 – 0 = -60o i3(t) = 2.sen (ωt + 45 o) ⇒ corrente i3 adiantada 45o em relação a v1: φ = θ3- θ1 = 45 – 0 = +45o Questão: A corrente i3(t) está atrasada ou adiantada em relação à tensão v2(t)? 3.10. OSCILOSCÓPIO O osciloscópio é um instrumento que mostra formas de onda de tensão. Na figura 3.10.1 vê-se uma foto de um osciloscópio e na figura 3.10.2 uma tela padrão de osciloscópio, onde aparecem as escalas vertical e horizontal. As telas dos osciloscópios são divididas em linhas verticais e horizontais separadas por 1cm, chamadas de divisão. A escala vertical define a tensão associada com cada divisão da tela. A escala horizontal define o período de tempo associado com cada divisão horizontal da tela. Por exemplo, se a escala horizontal for 50μs/divisão e a vertical for, 5V/divisão podemos determinar os parâmetros da forma de onda indicada. Lendo a escala horizontal podemos verificar que o período corresponde a 4 divisões: Período: 4 divisões x 50μs/divisão ⇒ T = 200μs Freqüência: kHz55000 10200 1 T 1f 6 ==⋅ == − Verificando a escala vertical podemos ler um valor de pico de 2 divisões: Valor de Pico: 2 divisões x 5V/divisão ⇒ Vp = 10V SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 37 Valor Eficaz: V07,7 2 10 2 V V pef === Figura 3.10.1 –Osciloscópio. Figura 3.10.2 – tela padrão de um osciloscópio. Na tela do osciloscópio, como mostra a figura 3.10.2, também podemos notar uma escala nos eixos principais, chamada de sub-divisão, para auxiliar na leitura mais precisa dos valores. 3.11. EXERCÍCIOS: 3.11.1) Determine o tempo que dura um ciclo e um semi-ciclo de um sinal senoidal cuja freqüência é 60Hz, 1000Hz e 100,9MHz. 3.11.2) Determine o tempo necessário para uma senóide de tensão da rede comercial percorrer o trecho compreendido entre 0rad e π/3rad. 3.11.3) Qual a freqüência obtida em um gerador tetrapolar que gira a 2400rpm? 3.11.4) Quanto tempo um sinal de tensão senoidal de 60Hz leva para atingir 25% do seu valor máximo? Quanto tempo leva para atingir o seu valor eficaz? 3.11.5) Para uma tensão alternada senoidal cujo valor eficaz é 220V / 60Hz, determine: a) período, velocidade angular, valor de pico, pico a pico, médio e eficaz; b) valor instantâneo quando α=60o. c) valor instantâneo quando t=10ms. 3.11.6) Uma tensão alternada possui valor médio igual a 25V e valor eficaz 32V. Qual o seu fator de forma? SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 40 -4,00 -3,00 -2,00 -1,0 0,00 1,0 2,00 3,00 4,00 w = 60 rad/s i (A) wt (rad/s) π/4 3π/4 5π/4 7π/4 9π/4 (b) Figura 3.11.2. exercício 3.11.13. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 41 4. NÚMEROS COMPLEXOS Para a análise de circuitos com sinais senoidais de corrente alternada, assim como na análise de circuitos de corrente contínua, tensões e correntes devem ser operadas algebricamente. Esta tarefa se torna pouco prática e trabalhosa quando operamos algebricamente equações sinusoidais na forma trigonométrica. O uso do sistema de números complexos permite relacionar sinais senoidais e se constitui numa técnica prática, fácil e precisa de se operar algebricamente sinais senoidais. O uso destas técnicas permite a análise de circuitos CA senoidais através da aplicação dos mesmos teoremas e procedimentos usados na análise de circuitos CC. 4.1. PLANO CARTESIANO COMPLEXO A figura 4.1.1 representa os conjuntos numéricos já estudados em matemática, onde: • Conjunto dos Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, ... } • Conjunto dos Números Inteiros: Z = { ..., -2, -1, 0, +1, +2, ... } • Conjunto dos Números Racionais: Q = {x / q px = ; p e q ∈ Z e q≠0} • Conjunto dos Números Reais: R = { racionais e irracionais } N Z Q R Figura 4.1.1 – Conjuntos dos Números Há problemas matemáticos que não possuem solução dentro do conjunto dos números reais. Por exemplo: 01x2 =+ 1x2 −= 1x −±= O resultado acima não pertence ao conjunto dos números reais. Um outro exemplo ajuda a visualizar este problema. Seja o sistema de equações: ⎩ ⎨ ⎧ =⋅ =+ 40yx 10yx Resolvendo por substituição, temos: y10x −= 40y)y10( =⋅− SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 42 040y10y2 =−+− )1(2 )40()1(4)10(10 y 2 −⋅ −⋅−⋅−±− = 2 6010y − −±− = 2 )15(410 y −⋅± = 2 15210y −⋅±= 155y −±= O resultado acima também não pertence ao conjunto dos números reais. Para resolver as equações semelhantes às apresentadas nos dois exemplos anteriores foi criado um número imaginário cujo quadrado é igual a -1. O símbolo2 “j” é usado para denotar um número imaginário. Assim: 1j2 −= ⇒ 1j −= Assim, para a equação do primeiro exemplo: 1x −±= jx ±= Há, portanto duas soluções para a equação: x1=+j e x2=-j. Para o segundo exemplo, onde: 155y −±= 1515y ⋅−±= 15j5y ⋅±= Com a criação do número imaginário pode-se determinar um novo conjunto denominado Conjunto dos Números Complexos, como mostra a figura 4.1.2. N Z Q R C Figura 4.1.2 – Conjuntos dos Números, incluindo os Números Complexos. 2 algumas bibliografias utilizam a letra “i” para representação de número imaginário. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 45 4.3. FORMA POLAR O ponto C em um plano cartesiano também pode ser determinado por um vetor radial traçado desde a origem do plano até o ponto dado e formando um ângulo θ com o eixo das abscissas x, como mostra a figura 4.1.3. Um número complexo na Forma Polar é um número composto por um vetor e um ângulo. A forma polar para representação de um número complexo, como mostra a figura 4.1.3, é feita através do vetor radial traçado desde a origem até o ponto, onde a sua magnitude (comprimento) chama-se módulo e o ângulo descrito desde o eixo horizontal (x) chama-se argumento. Assim: θ∠= zC onde: C - número complexo na forma polar; z – módulo (comprimento) do vetor radial desde a origem até o ponto (z>0); θ - argumento (ângulo) do vetor desde o eixo horizontal, medido no sentido anti-horário. Observação: O símbolo “∠” é usado para indicar o argumento de um número complexo na forma polar e lê-se:”com ângulo de” ou “com argumento de”. Os ângulos θ do argumento são sempre obtidos a partir do eixo das abscissas x e deve ser adotada a seguinte convenção: Ângulos positivos (+) são medidos no sentido anti-horário a partir do eixo horizontal x. Ângulos negativos (-) são medidos no sentido horário a partir do eixo horizontal x. Exemplo 4.3.1: representar os números complexos no plano. a) C = 5 ∠ 30o ver figura 4.3.1. C = 5∠30o x, Re y, Im θ = 30o z = 5 Figura 4.3.1 – solução do exemplo 4.3.1(a) b) C = 5 ∠ -30o ver figura 4.3.2. C = 5∠-30o x, Re y, Im θ = 30o z = 5 Figura 4.3.2 – solução do exemplo 4.3.1(b) c) C = -5∠ 30o = 5∠ 210o ver figura 4.3.3. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 46 C = 5∠210o x, Re y, Im θ = +210o z = 5 Figura 4.3.3 – solução do exemplo 4.3.1(c) Observação: Um sinal negativo no módulo indica uma direção oposta, ou seja: ( )o180zzC ±θ∠=θ∠−=− 4.4. CONVERSÃO ENTRE FORMAS Pela figura 4.1.3 podemos observar que as formas retangular e polar estão associadas através das relações trigonométricas do triângulo retângulo formado pelo vetor z e suas projeções ortogonais x e y, como está grifado na figura. A forma retangular é composta pelas projeções ortogonais real (x) e imaginária (y), ou seja, os catetos adjacente e oposto ao ângulo θ do triângulo retângulo xyz, respectivamente. 4.4.1. Conversão de Retangular para Polar Para transformar um número complexo da forma retangular para a forma polar, desejamos obter a hipotenusa z e o ângulo θ a partir dos catetos adjacente x e oposto y do triângulo retângulo xyz. Através das relações trigonométricas, temos: 222 yxz += assim, a hipotenusa do triângulo retângulo xyz é o módulo da forma polar e pode ser dado por: 22 yxz += sabemos que, x ytg =θ então o argumento da forma polar pode ser dado pelo ângulo: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=θ − x ytg 1 concluímos que um número complexo na forma polar é: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∠+=θ∠= − x ytgyxzC 122 Exemplo 4.4.1: converter os números complexos da forma retangular para a forma polar: a) C = 60 + j80 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 47 1008060z 22 =+= o1 13,53 60 80tg =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=θ − o13,53100C ∠= b) C = 5 – j5 2550)5(5z 22 ==−+= o1 45 5 5tg −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=θ − o4525C −∠= c) C = -5 + j7 ( ) 6,875z 22 =+−= o1 46,54 5 7tg −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =θ − C = 8,6∠125,54o Observação: Se o número complexo deve aparecer no segundo, terceiro ou quarto quadrantes, devemos convertê-lo para estes quadrantes e determinar o ângulo apropriado a ser associado com o seu módulo. No exemplo 4.4.1(c) o número –5+j7 aparece no 2o quadrante e portanto o ângulo de – 54,46o deve ser associado a este quadrante ou seja 180o+(-54,46o) = 125,54o. 4.4.2. Conversão de Polar para Retangular Para transformarmos um número complexo da forma polar para a forma retangular, desejamos obter o cateto adjacente x e o cateto oposto y a partir da hipotenusa z e do ângulo θ do triângulo retângulo xyz indicado na figura 4.1.3. Através das relações trigonométricas, temos: z xcos =θ assim, o cateto adjacente que representa o número real x, pode ser dado por; θ⋅= coszx e z ysen =θ assim, o cateto oposto que representa o número imaginário y, pode ser dado por; θ⋅= senzy concluímos que um número complexo na forma retangular é: ( )θ⋅+θ⋅=+= senzjcoszjyxC SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 50 ( ) ( )221121 zzCC θ∠⋅θ∠=⋅ Na forma trigonométrica: ( ) ( ) ( ) ( ) =θ+θ⋅θ+θ⋅=θ+θ⋅θ+θ⋅=⋅ 22112122211121 jsencosjsencoszzjsencoszjsencoszCC ( ) =θ⋅θ+θ⋅θ+θ⋅θ+θ⋅θ⋅= 21221212121 sensenjcosjsensencosjcoscoszz ( ) ( )[ ] =θ⋅θ+θ⋅θ+θ⋅θ−θ⋅θ⋅= 2121212121 cossensencosjsensencoscoszz Das identidades trigonométricas conhecidas, temos: ( )212121 cossensencoscos θ+θ=θ⋅θ−θ⋅θ ( )212121 sencossensencos θ+θ=θ⋅θ+θ⋅θ Substituindo: ( ) ( )[ ]21212121 jsencoszzCC θ+θ+θ+θ⋅=⋅ ( )212121 zzCC θ+θ∠⋅=⋅ Portanto, a regra para multiplicação de números complexos na forma polar é: Multiplicam-se os módulos e somam-se algebricamente os ângulos. Assim: ( )2121221121 zzzzCC θ+θ∠⋅=θ∠⋅θ∠=⋅ Exemplo 4.5.3: efetuar as operações algébricas com números complexos, sendo C1 = 10∠45o e C2 = 20∠30o. a) C3 = C1 x C2: C3 = C1 x C2 = 10∠45o x 20∠30o = 10x20 ∠(45o+30o) = 200 ∠75o b) C3 = C1* x C2: C3 = C1* x C2 = 10∠-45o x 20∠30o = 10x20 ∠(-45o+30o) = 200 ∠-15o Também podemos multiplicar números complexos na forma retangular utilizando-se a propriedade distributiva. Assim: =+++=+⋅+=⋅ )yy(j)xy(j)yx(j)xx()jyx()jyx(CC 21 2 212121221121 )yxyx(jyyxx)yy)(1()xy(j)yx(j)xx( 1221212121212121 +⋅+−=−+++= )yxyx(jyyxxCC 1221212121 +⋅+−=⋅ Propriedade: o produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real. Seja C=x+jy. Assim: 22222* y)1(xyjjxyjxyx)jyx()jyx(CC −−=−+−=−⋅+=⋅ 22* yxCC +=⋅ O mesmo raciocínio é válido para a forma polar. 4.5.5. Divisão de números complexos A divisão de números complexos deve ser feita na forma polar. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 51 Divisão de números complexos é feita na forma polar. A regra para divisão de números complexos na forma polar é: Dividem-se os módulos e subtraem-se algebricamente os ângulos. Assim: ( )21 2 1 22 11 2 1 z z z z C C θ−θ∠= θ∠ θ∠ = Exemplo 4.5.4: efetuar as operações algébricas com números complexos, sendo C1 = 10∠45o e C2 = 20∠30o. a) C3 = C1 / C2: C3 = C1 / C2 = 10∠45o / 20∠30o = 10/20 ∠(45o-30o) = 0,5 ∠15o b) C3 = C1 / C2*: C3 = C2 / C1* = 20∠30o / 10∠-45o = 20/10 ∠(30o-(-45o)) = 2 ∠75o 4.5.6. Potenciação de números complexos Consideremos o complexo θ∠= zC . Dado o número natural não nulo “n”, temos: [ ]θ∠++θ∠+θ∠⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ...z...zzC...CCC n n ( )θ⋅∠= nzC nn Esta equação é conhecida como Fórmula de Moivre. Exemplo 4.5.5: Efetue as operações: a) ( ) ( ) ( ) oo33o 9083032302C ∠=⋅∠=∠= b) ( ) ( ) ( ) ( ) 24j716124j916j24j94j4j3234j3C 2222 +−=⋅−++=⋅++=+⋅⋅+=+= 4.6. EXERCÍCIOS 4.6.1. Represente os números complexos num mesmo plano cartesiano e obtenha a forma polar: a) C1=5+j2 b) C2=4-j3 c) C3=-j4 d) C4=-1-j1 e) C5=2 f) C6=-7-j7 g) 1634C7 −−−= 4.6.2. Represente os números complexos num mesmo plano cartesiano e obtenha a forma retangular: a) C1=5∠30o b) C2=2∠180o SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 52 c) C3=4∠45o d) C4=3∠-60o e) C5=6∠-150o f) C6=2,5∠90o 4.6.3. Determine o argumento e o módulo dos números complexos a seguir e os represente geometricamente no plano cartesiano: a) C=j4 b) 32j2C +−= 4.6.4. Faça as operações algébricas com os números complexos: a) (6+j5)+(2-j)= b) (6-j)+(4+j2)= c) (2,5+j3,5)-(2,5-j4,5) d) (4-j).(2+j3)= e) (1+j).(2-j).(3+j2)= f) (5+j2)2= g) (2+j).(j)-1= 4.6.5. Calcule a e b, para que (4+j5)-(-1+j3)=a+jb 4.6.6. Determine o conjugado de: a) C=(3+j)-(2+j5)= b) C=(1-j).(3+j).(-1)= 4.6.7. Determine o C∈C, tal que: 2C+3C*=4-j 4.6.8. Dados os complexos C1=3+j4 e C2=6-j8, determine: a) |C1.C2|= b) |C1-C2|= c) |C1/C2|= d) |(2C1+C2)/(C1+C2)|= 4.6.9. Seja o1 1352C ∠= , o 2 604C ∠= , o 3 301C −∠= e C4=3-j4, calcule: a) (C1.C2)/C3= b) C1+C2-C3= c) (C1.C3*)-C2= d) C2/C4= e) C1-C4*= f) (3C1.C2).(C3.4C4)/(2C2-C3)= 4.6.10. Prove matematicamente (literal - sem números) que o produto de um número complexo na forma polar pelo seu conjugado é um número real igual ao módulo ao quadrado. 4.6.11. Prove matematicamente (literal – sem números) que ( )21 2 1 22 11 2 1 z z z z C C θ−θ∠= θ∠ θ∠ = . 4.6.12. Calcule: a) j4= SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 55 )60t100(sen15)t100(sen10)t(v)t(v o21 ++=+ -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 graus te ns ão (V ) v1 v2 v1+v2 Figura 5.1.1 – soma de senóides ponto a ponto Precisamos, portanto, encontrar uma ferramenta que nos facilite as operações algébricas com sinais senoidais de tensões e correntes para que possamos fazer uma análise rápida e correta de circuitos elétricos. No estudo do capítulo 3, pudemos perceber que os parâmetros mais importantes dos sinais de tensão e de corrente alternadas são: • Valor de Pico: Vp e Ip • Valor Eficaz: Vef e Ief • Velocidade Angular: ω • Freqüência: f • Período: T • Fase Inicial: θ Sabemos que todo o sistema elétrico do Brasil opera a uma mesma freqüência (60Hz). O que diferencia em algumas regiões são as tensões (110; 127; 220; 227V, por exemplo). Da mesma forma, no método que será apresentado, se todas as fontes de tensão e de corrente de um circuito possuírem a mesma freqüência angular ω poderemos omitir ω na representação da tensão “v” e da corrente “i”. Seja, por exemplo, o circuito da figura 5.1.2, com três fontes de tensão alternadas operando com mesmas freqüências angulares ω=200rad/s, onde: • v1(t) = 10.sen(200.t + 0o) • v2(t) = 5,0.sen(200.t + 45o) • v3(t) = 20.sen(200.t + 90o) Todas as três fontes apresentam a mesma freqüência angular ω = 200 rad/s. Desta forma, ω não diferencia as tensões e pode ser omitida na representação de v1, v2 e v3. A diferenciação entre estas tensões deverá ser feita, então, em função da tensão de pico Vp (ou da tensão eficaz Vef) e do ângulo de fase inicial θ de cada fonte. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 56 Será apresentado neste capítulo, um método para representação de sinais senoidais, de mesma freqüência, que permita facilidade nas operações algébricas necessárias à análise e cálculo de circuitos de corrente alternada. Esse método é chamado Representação Fasorial de Sinais Senoidais. v1(t) v2(t) v3(t) Figura 5.1.2: circuito com três fontes de tensão operando à mesma freqüência [1] 5.2. FASOR Do estudo da Física, sabemos que um ponto se deslocando em um movimento circular uniforme (movimento harmônico) pode ser representado através de suas projeções num plano cartesiano formando uma senóide, como mostra a figura 5.2.1. A recíproca também é verdadeira, ou seja, uma senóide pode ser representada pelas projeções de seus pontos como um ponto girando em um movimento circular uniforme. Um movimento harmônico giratório pode ser descrito por uma senóide e vice-versa. C α=ωt (o, rad) α 90o ω C 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o VP 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o 360o +VP -VP v(ωt) Figura 5.2.1: Projeções de valores instantâneos de um sinal senoidal [3] Cada ponto de uma senóide pode ser representado por um vetor de módulo constante numa posição diferente, como indicado na figura 5.2.1. A medida que a senóide é descrita o vetor assume posições diferentes. Quando a senóide completa um ciclo, o vetor descreveu um giro completo e se encontra na mesma posição inicial novamente. Este vetor é, portanto, um vetor girante. Se o ciclo da senóide foi descrito num dado intervalo de tempo (período T), o vetor deu uma volta completa no mesmo período da senóide. Assim, podemos concluir que para uma dada freqüência f do sinal senoidal, o movimento harmônico (giratório) do vetor possui a mesma freqüência e, portanto o vetor gira no sentido anti-horário com a mesma freqüência ou velocidade angular ω da senóide. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 57 Analisando a figura 5.2.1 podemos observar que o ponto C, em qualquer posição angular do seu movimento giratório, forma um vetor radial girante cujo módulo é constante e igual ao valor de pico (amplitude) da senóide. Então: Uma senóide pode ser descrita por um vetor radial girante com módulo igual à sua amplitude (valor de pico) e mesma freqüência angular ω A cada ciclo completado da senóide, o vetor radial girante volta à sua posição inicial. Se observarmos a projeção do valor da senóide no instante inicial t=0 ou na posição angular inicial α=ωt=0o, o vetor radial girante está posicionado a um determinado ângulo em relação ao eixo x. Após um período T (360o) o valor estará na mesma posição de partida. Podemos observar que este ângulo corresponde ao ângulo de fase inicial θ da senóide. A cada período ou ciclo completado o vetor radial girante está sempre na mesma posição angular inicial θ. Se o ciclo da senóide iniciar adiantado, o ângulo de fase inicial θ0 é positivo. Se o ciclo da senóide iniciar atrasado, o ângulo de fase inicial θ0 é negativo, conforme ilustra a figura 5.2.2. (a) ‘ θ -α θ VP v(ωt) ω ωt V0 V0 VP (b) ‘ -θ α θ VP v(ωt) ω ωt V0 V0 VP Figura 5.2.2: ângulo inicial do vetor radial girante: (a) adiantado, θ positivo; (b) atrasado, θ negativo [3] Considerando que este vetor radial: • gira à mesma freqüência angular ω constante da senóide de origem; • possui mesma freqüência f e período que a senóide de origem; • a cada volta se encontra na mesma posição inicial correspondente ao ângulo de fase inicial θ da senóide de origem • possui um módulo constante e igual ao valor de pico Vp da senóide de origem; SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 60 O valor de pico positivo (10V) ocorrerá em 90o+α=120o e assim por diante, como mostra o gráfico da figura 5.2.5(b). Como a rotação é completada após 0,02s, a freqüência angular pode ser determinada por: s/rad16,314 02,0 2 T 2f2 =π=π=π=ω A função instantânea para este sinal é dada por: ) 6 t16,314(sen10)t(senV)t(v P π −⋅=θ+ω= No instante t=0s a função senoidal assume o valor: 55,010) 6 (sen10) 6 016,314(sen10) 6 t16,314(sen10)t(v =⋅=π−=π−⋅=π−⋅= Também podemos obter o valor inicial de v(t) para t=0 através da projeção do fasor sobre o eixo vertical (y) do diagrama fasorial: 5)5,0(10)30cos(10)0(y)0(v o =−⋅=−⋅== ωt(o) 390o 210o +10 -10 0π • • • • 10 α -30o 120o ω 30o -5 (a) (b) v(0)=-5 v(ωt) y Figura 5.2.5: solução do exemplo 5.2.3. (a) diagrama fasorial e (b) forma de onda 5.3. REPRESENTAÇÃO FASORIAL COM NÚMEROS COMPLEXOS Como vimos, um método mais prático e eficiente para representação gráfica de sinais senoidais faz uso de um vetor radial girante denominado Fasor. Para que estes fasores permitam facilidade nas operações algébricas dos sinais que eles representam, como na aplicação dos métodos de análise de circuito elétricos de corrente alternada, é necessária uma ferramenta matemática para representar tais fasores. Esta ferramenta faz uso dos números complexos e de sua álgebra. Como estudado no capítulo 4, um número complexo representado na forma retangular (ou forma cartesiana) é um número composto por uma parte real e uma parte imaginária: C = x + jy Um número complexo representado na forma polar é composto por um módulo de um vetor radial e um ângulo (ou argumento). C = z ∠ θ onde: SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 61 x – número real y – número imaginário j – operador imaginário ( j = − 1 ) z – módulo θ - ângulo ou argumento. Um fasor é um vetor radial traçado desde a origem cujo módulo (comprimento) é constante e corresponde ao valor de pico do sinal senoidal e cujo ângulo formado com o eixo das abscissas corresponde à fase inicial θ do sinal senoidal no instante inicial t = 0. Se este fasor, que é um vetor radial, for traçado num plano cartesiano complexo, como mostrado na figura 5.3.1, podemos perceber que ele forma um triângulo retângulo com o eixo real x e podemos representá-lo matematicamente através de números complexos, tanto na forma polar como na forma retangular. x – eixo real y – eixo imaginário x θ ω 0 y z cateto oposto cateto adjacente hipotenusa Figura 5.3.1 – representação de um fasor no plano cartesiano complexo. Portanto, uma função senoidal no domínio do tempo dada por: )tsen(V)t(v p θ±⋅ω⋅= pode, então ser passada para o chamado domínio fasorial e transformada num fasor representado através de um número complexo na forma polar, tal que o módulo corresponde a um valor fixo que identifique a senóide como o valor de pico ou o valor eficaz (que é proporcional ao valor e pico e constante) e o argumento corresponde ao ângulo de fase inicial: θ±∠= pVV& ou θ±∠= 2 V V p& θ±∠= efVV& onde: V& - fasor representado por um número complexo; Vp – valor de pico (amplitude) do sinal senoidal de origem; θ - ângulo de fase inicial do sinal senoidal de origem. Um fasor é um número complexo na forma polar. SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 62 Importante: como o valor eficaz (rms), em vez do valor de pico, é usado mais freqüentemente na especificação e análise de dispositivos e circuitos elétricos de corrente alternada e que, para sinais senoidais é válida e constante a relação: 2VV efp ⋅= , a representação fasorial de sinais senoidais de tensão e corrente pode usar o valor eficaz como módulo do fasor, permanecendo o mesmo ângulo de fase para o argumento. Assim: Fasor Tensão: vefVV θ∠=& onde: V& - fasor tensão (Volts); Vef – tensão eficaz (Volts); θv – ângulo de fase inicial do sinal senoidal de tensão (graus ou radianos) A aplicação desse raciocínio também é válido para sinais senoidais de corrente, então: Fasor Corrente: iefII θ∠=& onde: I& - fasor corrente (Ampères); Vef – corrente eficaz (Ampères); θi – ângulo de fase inicial do sinal senoidal de corrente (graus ou radianos) Como um fasor é um número complexo, também podemos representá-lo na forma retangular, usando as projeções x e y, como mostra a figura 5.3.1. A conversão de um fasor na forma polar para a forma retangular e vice-versa através dos procedimentos apresentados no capítulo 4. Exemplo 5.3.1: Na figura 5.2.4, considerando-se o eixo x como eixo real e o eixo y como eixo imaginário, representar os fasores através de números complexos, na forma polar e na forma retangular. Solução: para o fasor V o seu módulo é 10 e o seu ângulo é 0o, então na forma polar: oo 007,70 2 10V ∠=∠=& V e para o fasor I o seu módulo é 5 e o seu ângulo é +45o, então na forma polar: oo 4554,345 2 5I +∠=+∠=& A para obtermos a forma retangular devemos obter as projeções dos fasores nos eixos x e y. Assim para o fasor V: 07,7 2 100cos 2 10x o ==⋅= 00sen 2 10y o =⋅= então: 0j07,7V +=& V e para o fasor I: