Baixe Ajuste linear por mínimos quadrados e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Agrícola, somente na Docsity! Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Departamento de Física FSC310 – Físico-Química E-III Prof. José A.T. Borges da Costa AJUSTE LINEAR POR MÍNIMOS QUADRADOS Santa Maria 1º Semestre Letivo de 2003 Introdução Em diversos problemas estudados nesta disciplina, é necessário ajustar uma equação teórica aos resultados de um experimento. São exemplos: 1) o ajuste da isoterma de Langmuir a isoterma de Freundlich aos resultados de medidas de massa de ácido acético dissolvido em água que resulta adsorvido à superfície do carvão imerso na solução, em função da concentração do soluto quando a temperatura é mantida constante; 2) o ajuste da equação de Carrancio, ao conjunto de pares ordenados formados pelo logarítmo natural da viscosidade e o recíproco da temperatura absoluta; 3) o ajuste de uma reta logaritmo natural do tempo de reação versus o inverso da temperatura, conforme previsto pela equação de Arrhenius para uma reação de primeira ordem. Em todos estes problemas, o objetivo do ajuste é obter os valores numéricos de parâmetros cujo significado é definido pelo modelo teórico que está sendo ajustado. Também nos exemplos acima, os dados experimentais são tratados de modo que os valores numéricos obtidos possam ser ajustados a uma reta, cuja equação geral tem a forma y = a + bx , (1) onde a é o ponto em que a reta intercepta o eixo y e b é a inclinação da reta, definida como b = ∆y/∆x . Todos estes problemas reduzem-se portanto ao ajuste de uma reta a um conjunto de pontos obtidos a partir de dados experimentais. Colocação do problema Considere, por exemplo, o conjunto de pares ordenados (x,y) apresentados na Tabela 1 que foram obtidos como resultados de medidas da propriedade.y correspondentes a diferentes valores da propriedade x. Tabela 1 – Valores experimentais da propriedade.y medida a diferentes valores da propriedade x x y x1 = 1 y1 = 1 x2 = 2 y2 = 1,5 x3 = 3 y3 = 3,5 x4 = 4 y4 = 4 Os pares ordenados da Tabela 1 estão representados pelos pequenos círculos no gráfico y versus x da Figura 1. O problema aqui proposto consiste em encontrar a reta que “melhor se ajusta” ao conjunto de pontos deste gráfico. Um critério largamente utilizado é o de que a melhor reta é aquela para a qual a soma dos quadrados das distâncias verticais entre a reta e os pontos experimentais é a menor possível. Matematicamente, o critério dos mínimos quadrados pode ser traduzido da seguinte forma. Se yi são os valores experimentais de y correspondentes aos valores xi de x e y(xi) são os valores de y calculados pela equação da reta para cada xi, então yi - y(xi) são as diferenças entre os valores experimentais e teóricos para cada xi . Somando os quadrados destas diferenças, sobre os N pares ordenados obtém-se a função χ2 que se escreve como ∑ = −=χ N 1i 2 ii 2 ))x(yy( . (2)
