Grandezas escalares e vetoriais

Grandezas escalares e vetoriais

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METMETMETMETMETAAAAA Apresentar as grandezas vetoriais e seu significado

OBJETIVOSOBJETIVOSOBJETIVOSOBJETIVOSOBJETIVOS Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Diferenciar grandezas escalares e vetoriais; compreender a notação vetorial. Representar analiticamente um vetor; desenvolver operações de composição e decomposição de vetores

PRÉ-REQUISITOSPRÉ-REQUISITOSPRÉ-REQUISITOSPRÉ-REQUISITOSPRÉ-REQUISITOS Você vai precisar de calculadora e uma régua.

Introdução à Física

A Física lida com um amplo conjunto de grandezas. Para algumas grandeza basta um único número para representá- las.

Em outros casos, esse número não é suficiente. Então temos dois subgrupos de grandeza que devemos compreender e diferenciar. Isso é o que veremos na aulas de hoje.

(Fonte: httpalfaconnection.net).

Grandezas escalares e vetoriais

Um único número com uma unidade de medida é ótimo para representar muitas dessas grandezas físicas, como tem

peratura, tempo, massa, etc. Uma vez especificado que a massa de um corpo é 100 kg ou a temperatura hoje será de 28ºC, não precisamos de mais nada para caracterizá-las. Essas grandezas são denominadas escalares.

Mas os escalares são unidimensionais; eles têm somente magnitude e não podem representar várias outras grandezas que tenham uma direção associada com elas. Por exemplo, pense como você poderia descrever com apenas um número o movimento de um carro. Não dá, não é mesmo? Não basta dizer com que velocidade ele se desloca. Você precisa dizer em que direção e sentido ele vai.

100 m. Ele pode estar para cima, para baixo, para os lados,Para

Outro exemplo é a posição do carro. Não basta dizer que ele está a 100 m. Existem muitas possíveis localizações desse carro a localizar o carro, é preciso especificar também a direção e o sentido em que ele se encontra. É o que fazemos, por exemplo, quando apontamos com nossas mãos onde está o carro.

Então, para especificarmos bem a velocidade ou a localização do carro precisamos de um outro tipo de representação: um vetor. O vetor representa o módulo, a direção e o sentido, da grandeza física.

Um vetor tem duas propriedades variáveis independentes: magnitude e direção. No caso do movimento do carro, se ele se desloca na direção norte-sul em sentido do sul, temos então seu movimento descrito completamente se dissermos o valor da sua velocidade,

Introdução à Física que corresponde a magnitude do vetor. Assim teremos um vetor velocidade que descreve o movimento do carro. Resumindo: uma grandeza vetorial é tal que sua caracterização completa requer um conjunto de três atributos: o módulo, a direção e o sentido.

Vetores são usados comumente em física para representar fenômenos como posição, força, velocidade e aceleração, que são grandezas vetoriais.

em negrito (A) e/ou com uma flecha sobre a letra (). Como você

Vetores são frequentemente representados por uma única letra não pode fazer o negrito quando faz suas notações manuscritas, repre-

sente um vetor com uma flecha sobre uma letr( por exemplo:).

A flecha serve para lembrar o leitor que se trata de uma grandeza vetorial, e portanto tem módulo, direção e sentido.

Ao longo desse texto vamos estabelecer a distinção entre grandezas vetoriais e escalares, colocando uma flecha sobre as primeiras: m = escalar massa T= escalar temperatura = vetor posição

= vetor força

É aquilo que existe de comum num feixe de retas paralelas.

Direção

Sentido

Podemos percorrer uma direção em dois sentidos. Portanto, para cada direção existem dois sentidos.

Grandezas escalares e vetoriais

Cuidado, é muito importante representar corretamente uma grandeza vetorial, pois suas propriedades são diferentes de grandezas escalares. Os cálculos envolvendo grandezas escalares são feitos em operações aritméticas usuais. Por exemplo: 2 h + 3 h = 5 h ou 5 x10 kg = 50 kg

Porém os cálculos envolvendo grandezas vetoriais precisam de operações específicas .

Graficamente, um vetor é representado através de um segmento de reta orientado (uma flecha). A vantagem dessa representação é que ela permite especificar a direção (dada pela reta) e o sentido (especificado pela flecha). Além disso, o seu módulo será especificado pelo “tamanho” do segmento, a partir de alguma convenção para a escala.

Caso dois vetores (e ’) tenham a mesma direção e o
mesmo sentido eles são ditos paralelos (= ’), não importando

VETORES PARALELOS seu módulo. Caso eles possuam ainda o mesmo módulo, eles serão

iguais, independentemente do local onde se encontrem no espaço. Por exemplo, o vetor deslocamento de seu carro desde seu portão até a esquina pode ser igual a outro vetor deslocamento que ele realize em outro ponto de sua cidade. Basta que ambos tenham mesmo módulo, direção e sentido.

Introdução à Física

vetores são ditos antiparalelos. Assim, digamos que o vetor’ é um
vetor negativo do vetor( = - ’) se ele possui o mesmo
módulo e direção de, porém com sentido contrário.

Se o sentido for invertido (contrário ao do outro vetor) dois

Chamamos este vetor deslocamento deAgora você dobra à
na. Este vetor chamaremos deEm relação à sua casa você se
deslocou apenasque correspondente ao segmento de reta inicia-

Suponha que você está dirigindo um carro e sofra um deslocamento em linha reta de frente da sua casa até a esquina na sua rua. direita e sofre outro deslocamento em linha reta até a outra esquido no portão de sua casa e o ponto onde você se encontra na segunda esquina, que é diferente da distância total percorrida pelo seu carro. Por exemplo, se o carro fizesse o trajeto de ida e volta, seu vetor deslocamento seria igual a zero, porém ele teria percorrido a distância de ida e volta, que é bem diferente de zero.

Nesses casos até é fácil visualizar o movimento e pensar nos vetores um a um. Mas muitas vezes temos que recorrer a matemática para facilitar nossa vida, pois talvez teremos que somar uma quantidade enorme de vetores ou imaginá-los em mais de duas dimensões. Então tudo pode parecer confuso. Ok, então a melhor maneira de trabalharmos com vetores é compreendendo como eles se comportam matematicamente.

Você se lembra do plano no sistema cartesiano, um sistema com dois eixos ortogonais (simplesmente chamado de plano xy)?

Grandezas escalares e vetoriais

,e . Estes dois vetores podem ser denotados como segmentos

Bem, vamos imaginar dois vetores nesse plano. Denomine-os por e de linha reta desde a origem (0, 0) até o ponto final de cada um

deles. A direção é denotada por um segmento de reta e uma flecha na sua extremidade serve para denotar seu sentido. O módulo do vetor é correspondente ao comprimento do segmento.

Suponha que o ponto final detenha valores (xa,ya) e o ponto
final detenha valores(xb, yb). A magnitude (módulo) de Aur,

escrita como | |, é dada por

| | = (xa2 + ya2)1/2

Do mesmo modo, a magnitude de,| |, é dada por

OBS: Lembre-se que:

| | = (xb2 + yb2)1/2 Normalmente o módulo de um vetor é representado pela mes-

módulo de= A, mas o melhor mesmo é utilizarmos módulo de
,= | | para evitar confusão.

ma letra em itálico, mas sem o negrito e sem a flecha. Por exemplo,

Vetores no plano xy. As coordenadas (xa,ya) do ponto correspondente a extremidade do vetor e (xb,yb) do vetor são marcadas nos eixos Ox e Oy.

Introdução à Física

ortogonais), dois vetorese e podem ser denotados como

Agora expanda sua mente para três dimensões. Escolhendo um sistema de coordenadas comum com eixos xyz, também chamado de sistema cartesiano (composto de um conjunto de três eixos segmentos de reta desde a origem (0, 0, 0) até um ponto final deles no espaço.

Suponha que o ponto final detenha os valores (xa, ya, za) e o

ponto final de Bur tenha os valores (xb, yb, zb). A magnitude de , escrita como | |, é

| | = (xa 2 + ya 2 + za 2)1/2 De modo análogo, a magnitude de , descrita como | |, é

| | = (xb 2 + yb 2 + zb 2)1/2 Por definição, o módulo de um vetor é sempre um número (es-

calar) positivo. Se você escrever= 2 h estará fazendo uma boba-

gem. Você não pode dizer que um vetor é igual a um escalar, somente seu módulo pode.

te a extremidade do vetore (xb, yb, zb) do vetor são marcadas nos eixos Ox , Oy e

Vetores no espaço tri-dimensional xyz. As coordenadas (xa, ya, za) do ponto corresponden- Oz.

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