Baixe Álgebra vetorial e outras Notas de estudo em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! ÁLGEBRA VETORIAL META Familiarizar os alunos com formalização matemática dada pela álgebra vetorial OBJETIVOS Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Realizar operações elementares com vetores; identificar as propriedades dos vetores. 18 aula (Fonte :http://www.novafisica.net). 426 Introdução à Física Na aula passada você viu o que são grandezas vetoriais.Viu que para representá-las utilizamos vetores. Hoje nós vamos discutir como você vai fazer operações com esses vetores. Realizar operações com grandezas escalares é muito fácil. Funciona da mesma forma como aprendemos a fazer contas em matemática. Por exemplo, fazer adição de duas grandezas escalares é simples: 10 kg acrescidos de 5 kg dá 15 kg. Como já sabíamos fazer 10 + 5 =15 e, nesse caso, só acrescen- tamos a unidade. Mas trabalhar com grandezas vetoriais não é tão simples. Veja por que: considere o caso da adição de dois deslocamentos (duas grandezas vetoriais). Como é possível adicionar grandezas que, além dos respectivos módulos, têm direções e sentidos diferentes? Mais ainda, imagine como efetuar subtrações e multiplicações dessas gran- dezas vetoriais? Não sabe como? Se você nunca aprendeu isso, mesmo sendo mais complicado do que trabalhar com grandezas escalares, hoje você vai ver que não é tão difícil assim. INTRODUÇÃO 18 aula 429 Álgebra vetorial resulta em um terceiro vetor (resultante), cujas propriedades são inferidas a partir da soma dos vetores , e . Esse último tem módulo e direção iguais ao do vetor , mas tem senti- do oposto. Reduzimos o problema da subtração de dois vetores ao problema da soma de e . Para facilitar suas contas, você também pode fazer uso das com- ponentes de um vetor, especialmente na adição e subtração de vetores. Por exemplo, na soma de vetores, , o vetor resultante é tal que suas componentes são dadas pela soma das componentes de e . Isto é, vx = v1x + v2x , vy = v1y + v2y . No caso da subtração, , o vetor resultante tem suas componentes dadas pela subtração das componentes 430 Introdução à Física vx = v1x - v2x , vy = v1y - v2y . A extensão das regras de adição para muitos vetores é muito simples. Se tivermos, por exemplo, 4 vetores , o vetor resultante: será obtido utilizando-se a representação gráfica pelo lado do polígono que é necessário para fechá-lo, uma vez colocados todos os vetores a serem somados, começando sempre pela extremidade da flecha. Utilizando-se a representação em termos de componentes, es- crevemos para as componentes do vetor resultante: vx = v1x + v2x + v3x + v4x vy = v1y + v2y + v3y + v4y OBS: No espaço tridimensional, devemos também levar em conta a componente z dos vetores. A soma de dois vetores e é A +B = [(xa + xb), (ya + yb), (za + zb)] Existem algumas regras básicas sobre a adição de vetores que você deve saber. Quando você adiciona dois vetores, como já dis- semos, não importa em qual ordem você faz esta soma. Se e são vetores, então E também quando você adiciona três vetores, não importa em como a soma é agrupada. Se , e são vetores, então ur 18 aula 431 Álgebra vetorial MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR Podemos multiplicar um vetor por um escalar, ou seja, um número k. Dessa operação resulta um novo vetor: com as seguintes características: a) O módulo do novo vetor é o resultado da multiplicação do valor absoluto de k pelo módulo de. b) A direção do novo vetor é a mesma de . c) O sentido de é o mesmo de se k for positivo e oposto ao de se k for negativo. Quando um vetor é multiplicado por um escalar, não importa a ordem do produto realizado, ou seja, o produto é comutativo. Se é um vetor e k é um número real, então No caso da multiplicação por dois escalares, você também pode primeiro multiplicar o vetor por um dos escalares e o resultado multiplicar pelo outro ou multiplicar os dois escalares e esse resul- tado multiplicar pelo vetor. Ou seja, se é um vetor, e k1 e k2 núme- ros escalares reais, então a seguinte equação é válida: Também vale a distributividade da multiplicação de um escalar sobre a adição de um escalar. Veja o que isso significa: São válidas as seguintes equações No caso de uma soma de dois vetores e , juntamente com a multiplicação por um número escalar real k, as seguintes equações são válidas: ur 434 Introdução à Física Para os versores e k̂ valem as regras ˆˆ ˆ ˆ ˆi j j i k× = − × = ˆ ˆˆ ˆ ˆj k k j i× = − × = ˆ ˆˆ ˆ ˆk i i k j× = − × = Como o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é igual a zero ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆi i j j k k× = × = × = 0 Estes são apenas alguns exemplos de regras universais que os vetores obedecem. Se você tem dificuldade em visualizar como funcionam essas regras você não é o único. Vários conceitos sobre vetores parecessem impossíveis de serem visualizados mesmo. Ainda bem que temos a matemática para nos ajudar a resolver muitos problemas de física sem poder ver exatamente como ficam esses vetores! O zero está em negrito para lembrar que este produto fornece um vetor nulo, isto é, aquele que possui componentes nulos e não possui direção definida. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DO PRODUTO VETORIAL Utilizando os versores ˆ ˆ,i j e k̂ , podemos definir o produto vetorial de dois vetores A B× r r , formalmente, como o determinante da matriz constituída pelos versores e pelas componentes dos vetores. Isto é, 18 aula 435 Álgebra vetorial Portanto, as componentes do vetor são: PROPRIEDADES GERAIS A partir das definições anteriores, podemos verificar as propri- edades gerais que se seguem. Se e são vetores, valem as propriedades de comutatividade e associatividade. Vejamos quais são elas: Quando fazemos o produto escalar de dois vetores, não importa em qual ordem os vetores são colocados. Se e são vetores, então: 436 Introdução à Física São válidas também as seguintes equações: A direção do produto vetorial de dois vetores é revertida quan- do a ordem dos vetores “multiplicados” é revertida. Isto é Sejam vetores. Então as seguintes equações são válidas: As seguintes identidades são muito úteis Estes são apenas alguns exemplos de regras universais que os vetores obedecem. Se você tem dificuldade em visualizar como fun- cionam essas regras você não é o único. Vários conceitos sobre vetores parecem impossíveis de serem visualizados mesmo. Ainda bem que temos a matemática para nos ajudar a resolver muitos problemas de física mesmo sem poder ver exatamente como ficam esses vetores! 18 aula 439 Álgebra vetorial COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES a) O vetor soma pode ser encontrado adicionando-se as componentes de ambos os vetores: b) O módulo de um vetor é simplesmente tomar a raiz quadrada da soma de cada uma de suas componentes ao quadrado. Portanto: c) O vetor diferença não é nada mais do que a soma. Então d) A multiplicação por um escalar é simplesmente multiplicar cada componente pelo número desejado. Depois procedemos com a soma como já fizemos: e) O produto escalar entre dois vetores é dado por: (âé o ângulo formado entre eles). Como não temos esse ângulo, podemos usar outra forma de encontrar o produto escalar, que é multiplicando cada uma das componentes de ambos os vetores e depois somá-las. 440 Introdução à Física f) Agora, como já sabemos o valor do produto escalar, podemos usar a equação para encontramos(â g) Quaisquer dados vetores: O produto vetorial será o vetor , em que x, y e z são dados pelo determinante Que leva às relações: Ou seja x = b.f - c.e y = c.d – a.f z = a.e – b.d Então, substituindo os valores de u e v do nosso exercício: temos: u v×r r 18 aula 441 Álgebra vetorial CONCLUSÃO A melhor forma de se lidar com grandezas vetoriais éintroduzir um ente conhecido como vetor. Utilizan- do a representação através de vetores poderemos definir a soma, a subtração e as multiplicações de grandezas vetoriais. A representação gráfica permite-nos exe- cutar uma série de operações com vetores. Além da representação geométrica (ou gráfica), a re- presentação analítica, em que utilizamos as componentes do vetor, também nos permite executar operações com vetores. Devemos escolher a forma mais adequada para reali- zarmos as operações com vetores facilitando nossos cálculos. h) O módulo do produto vetorial é Considere o paralelogramo da figura: o ângulo ß formado entre os vetores e . Então, o triângulo limitado pelos vetores e . terá uma área dada por A área S do paralelogramo será evidentemente igual ao dobro a área deste triângulo, ou seja: S = 2.A = u.v.sen ß Ora, u.v.sen ß é, exatamente, o módulo do produto vetorial , conforme já vimos, a conclusão é que a área do paralelogramo construído a partir dos vetores e , é igual ao módulo do produto vetorial Assim, r u â